Задача: Найти максимально возможное количество натуральных делителей числа $n^3$, если $n^2$ имеет 81 натуральный делитель. Известно, что разложение натурального числа $n$ на различные простые множители имеет вид $n = p^s q^t$, где $s, t$ - положительные натуральные числа.

Разберем решение задачи по шагам: 1. Анализ условия: Нам дано, что $n = p^s q^t$, где $p$ и $q$ - простые числа, а $s$ и $t$ - натуральные числа. Также известно, что $n^2$ имеет 81 натуральный делитель. Наша цель – найти количество натуральных делителей числа $n^3$. 2. Количество делителей $n^2$: $n^2 = (p^s q^t)^2 = p^{2s} q^{2t}$. Количество делителей числа $n^2$ вычисляется по формуле: $(2s + 1)(2t + 1)$. По условию, это число равно 81. Значит, $(2s + 1)(2t + 1) = 81$. 3. Возможные варианты для $2s+1$ и $2t+1$: Так как $2s+1$ и $2t+1$ - нечетные числа, рассмотрим нечетные делители числа 81. Это 1, 3, 9, 27, 81. Возможные пары $(2s+1, 2t+1)$: * (1, 81) * (3, 27) * (9, 9) * (27, 3) * (81, 1) 4. Находим $s$ и $t$ для каждой пары: * Если $(2s+1, 2t+1) = (1, 81)$, то $2s = 0$ и $2t = 80$, то есть $s = 0$ и $t = 40$. Но $s$ должно быть натуральным числом, значит, этот вариант не подходит. * Если $(2s+1, 2t+1) = (3, 27)$, то $2s = 2$ и $2t = 26$, то есть $s = 1$ и $t = 13$. * Если $(2s+1, 2t+1) = (9, 9)$, то $2s = 8$ и $2t = 8$, то есть $s = 4$ и $t = 4$. * Если $(2s+1, 2t+1) = (27, 3)$, то $2s = 26$ и $2t = 2$, то есть $s = 13$ и $t = 1$. * Если $(2s+1, 2t+1) = (81, 1)$, то $2s = 80$ и $2t = 0$, то есть $s = 40$ и $t = 0$. Но $t$ должно быть натуральным числом, значит, этот вариант не подходит. 5. Выражение для $n^3$: $n^3 = (p^s q^t)^3 = p^{3s} q^{3t}$. Количество делителей числа $n^3$ вычисляется по формуле: $(3s + 1)(3t + 1)$. 6. Вычисляем количество делителей $n^3$ для каждой пары $s$ и $t$: * Если $s = 1$ и $t = 13$, то количество делителей $n^3$ равно $(3cdot1 + 1)(3cdot13 + 1) = (4)(40) = 160$. * Если $s = 4$ и $t = 4$, то количество делителей $n^3$ равно $(3cdot4 + 1)(3cdot4 + 1) = (13)(13) = 169$. * Если $s = 13$ и $t = 1$, то количество делителей $n^3$ равно $(3cdot13 + 1)(3cdot1 + 1) = (40)(4) = 160$. 7. Выбираем максимальное значение: Максимальное количество делителей $n^3$ равно 169. Ответ: 169