Задача: Длина вектора \(\vec{a}\) равна \(5\sqrt{2}\), угол между векторами равен 45°, а скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) равно 25. Найдите длину вектора \(\vec{b}\).

Давай решим эту задачу вместе. Нам дано, что длина вектора \(\vec{a}\) равна \(5\sqrt{2}\), угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 45°, и скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) равно 25. Нужно найти длину вектора \(\vec{b}\). Мы знаем формулу для скалярного произведения: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| cdot |\vec{b}| cdot \cos(\theta)\) где \(|\vec{a}|\) - длина вектора \(\vec{a}\), \(|\vec{b}|\) - длина вектора \(\vec{b}\), и \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Подставим известные значения: \(25 = 5\sqrt{2} cdot |\vec{b}| cdot \cos(45^\circ)\) Мы знаем, что \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому: \(25 = 5\sqrt{2} cdot |\vec{b}| cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) Упростим уравнение: \(25 = 5 cdot |\vec{b}| cdot \frac{2}{2}\) \(25 = 5 cdot |\vec{b}|\) Теперь найдем \(|\vec{b}|\): \(|\vec{b}| = \frac{25}{5}\) \(|\vec{b}| = 5\) Таким образом, длина вектора \(\vec{b}\) равна 5. Ответ: 5