Задача 17: Задумали трёхзначное число, которое делится на 22 и последняя цифра которого в 3 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Решение: 1. **Представим число:** Пусть трёхзначное число имеет вид \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) – цифры. По условию, \(c = \frac{a}{3}\). Так как \(c\) – цифра, то \(a\) должно делиться на 3. Следовательно, \(a\) может быть 3, 6 или 9. 2. **Проверим возможные значения \(a\):** * Если \(a = 3\), то \(c = 1\). Число имеет вид \(\overline{3b1}\). Оно должно делиться на 22. То есть, \(301 + 10b\) должно делиться на 22. * Если \(a = 6\), то \(c = 2\). Число имеет вид \(\overline{6b2}\). Оно должно делиться на 22. То есть, \(602 + 10b\) должно делиться на 22. * Если \(a = 9\), то \(c = 3\). Число имеет вид \(\overline{9b3}\). Оно должно делиться на 22. То есть, \(903 + 10b\) должно делиться на 22. 3. **Проверим делимость на 22 для каждого случая:** * Для \(\overline{3b1}\): Ближайшее число, делящееся на 22, это 308 (22 * 14 = 308). Тогда \(301 + 10b = 308\), откуда \(10b = 7\), что невозможно, так как \(b\) – целое число. Следующее число, делящееся на 22, это 330 (22 * 15 = 330). Тогда \(301 + 10b = 330\), откуда \(10b = 29\), что тоже невозможно. * Для \(\overline{6b2}\): Проверим делимость на 22. \(602 \div 22 = 27.36\) , значит нужно искать ближайшие делимые на 22 числа. \(22 * 27 = 594\) и \(22*28 = 616\). Если \(602 + 10b = 616\), то \(10b = 14\), значит \(b = 1.4\). Это невозможно, так как b - целое число. Следующее число: \(22*29 = 638\), \(602 + 10b = 638\), \(10b = 36\), следовательно b = 3.6. Это тоже не подходит. Пробуем еще: \(22 * 30 = 660\), \(602 + 10b = 660\), \(10b = 58\), следовательно b = 5.8. Это тоже не подходит. \(22 * 26 = 572\), \(602 + 10b = 572\), \(10b = -30\), следовательно b = -3. Это тоже не подходит. Забудем про это. * Для \(\overline{9b3}\): Проверим делимость на 22. \(903 \div 22 = 41.04\) , значит нужно искать ближайшие делимые на 22 числа. \(22 * 41 = 902\). Если \(903 + 10b = 902\), то \(10b = -1\), значит \(b = -0.1\). Это невозможно, так как b - целое число. Следующее число: \(22 * 42 = 924\), \(903 + 10b = 924\), \(10b = 21\), следовательно b = 2.1. Это тоже не подходит. Пробуем еще: \(22 * 43 = 946\), \(903 + 10b = 946\), \(10b = 43\), следовательно b = 4.3. Это тоже не подходит. \(22 * 40 = 880\), \(903 + 10b = 880\), \(10b = -23\), следовательно b = -2.3. Это тоже не подходит. Забудем про это. 4. **Применим второе условие:** Разность числа и числа с обратным порядком цифр больше 300. То есть \(\overline{abc} - \overline{cba} > 300\). Значит \(100a + 10b + c - (100c + 10b + a) > 300\), или \(99(a - c) > 300\). \(a - c > \frac{300}{99} \approx 3.03\). * Если \(a = 3\), то \(c = 1\), \(a - c = 2\), что не удовлетворяет условию. * Если \(a = 6\), то \(c = 2\), \(a - c = 4\), что удовлетворяет условию. Ищем \(\overline{6b2}\) делящееся на 22. \(616 = 22 * 28\) - Подходит! \(b=1\). * Если \(a = 9\), то \(c = 3\), \(a - c = 6\), что удовлетворяет условию. Ищем \(\overline{9b3}\) делящееся на 22. Ближайшее это \(902\). Не подходит. 5. **Проверка числа 616:** \(616 \div 22 = 28\) - подходит. Проверим разность: \(616 - 22 = 394 > 300\) - не выполняется. Идем дальше. Разность числа и числа с обратным порядком цифр должна быть больше 300. Запишем это условие: \(6b2 - 2b6 > 300\) \(602 + 10b - (206 + 10b) > 300\) \(602 - 206 > 300\) \(396 > 300\), что выполняется. Значит нам нужно \(\overline{6b2}\), которое делится на 22. Найдем такое число методом подбора числа \(b\). 6. **Подбор значения \(b\):** Подбором находим число \(682\), которое делится на 22. А именно \(682 \div 22 = 31\). Проверим: \(682 - 286 = 396 > 300\). **Ответ:** Задумано число 682.