Задача 9: В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 80, sin A = 1/4. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, CH - высота, опущенная на гипотенузу AB. 1. Рассмотрим треугольник ABC. Нам дан синус угла A: $\sin A = \frac{1}{4}$ Также нам известна гипотенуза AB = 80. 2. Найдем катет BC, используя определение синуса угла A: $\sin A = \frac{BC}{AB}$ $\frac{1}{4} = \frac{BC}{80}$ $BC = \frac{80}{4} = 20$ 3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BСH. В этом треугольнике угол B прямой, и СH - высота, следовательно, треугольник BСH тоже прямоугольный. 4. Найдем косинус угла A, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ $(\frac{1}{4})^2 + \cos^2 A = 1$ $\frac{1}{16} + \cos^2 A = 1$ $\cos^2 A = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ $\cos A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ 5. Найдем катет AC, используя косинус угла A: $\cos A = \frac{AC}{AB}$ $\frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{AC}{80}$ $AC = \frac{80 \sqrt{15}}{4} = 20\sqrt{15}$ 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В этом треугольнике: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Чтобы найти AH, нам нужно знать CH. 7. Найдем CH из треугольника ABC. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: $\frac{1}{2} * AC * BC$ и $\frac{1}{2} * CH * AB$. Приравняем эти выражения: $\frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * CH * AB$ $AC * BC = CH * AB$ $20\sqrt{15} * 20 = CH * 80$ $400\sqrt{15} = CH * 80$ $CH = \frac{400\sqrt{15}}{80} = 5\sqrt{15}$ 8. Теперь вернемся к треугольнику ACH и найдем AH: $AC^2 = AH^2 + CH^2$ $(20\sqrt{15})^2 = AH^2 + (5\sqrt{15})^2$ $400 * 15 = AH^2 + 25 * 15$ $6000 = AH^2 + 375$ $AH^2 = 6000 - 375 = 5625$ $AH = \sqrt{5625} = 75$ Ответ: 75