Задача №6. В треугольнике ABC сторона AC = 6, BM - медиана, BH - высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

В треугольнике ABC, BM - медиана, следовательно, AM = MC. Так как AC = 6, то AM = MC = 3. Так как BC = BM, треугольник BCM - равнобедренный. Пусть \(\angle BCM = \angle BMC = x\). Так как BH - высота, то \(\angle BHC = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник BHC. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Тогда \(\angle CBH = 90^\circ - x\). Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как BM - медиана и BC = BM, то треугольник BCM - равнобедренный, и \(\angle MBC = \angle MCB = x\). Тогда \(\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC\). Заметим, что \(BM = MC = AM\), то есть точка M - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Таким образом, треугольник ABC - прямоугольный, с прямым углом при вершине B. Следовательно, \(\angle ABC = 90^\circ\). В треугольнике BCM \(\angle MBC = \angle MCB = x\), тогда \(\angle BMC = 180^\circ - 2x\). Так как \(\angle BMC\) и \(\angle AMB\) смежные, то \(\angle AMB = 180^\circ - (180^\circ - 2x) = 2x\). В треугольнике ABM, так как AM = BM, то \(\angle MAB = \angle MBA\). Значит, \(\angle MAB = \angle MBA = (180^\circ - 2x)/2 = 90^\circ - x\). Из прямоугольного треугольника ABC имеем: \(\angle BAC + \angle BCA = 90^\circ\). Значит, \((90^\circ - x) + x = 90^\circ\). Также, \(\angle ACB = x\). Тогда \(\angle BAC = 90^\circ - x\). Так как \(\angle ABH = 90^\circ - (90^\circ - x) = x\), то \(\angle CBH = 90^\circ - x\). В прямоугольном треугольнике ABH: \(\angle BAH = 90^\circ - x\) и \(\angle ABH = x\). В прямоугольном треугольнике BHC: \(\angle BCH = x\) и \(\angle CBH = 90^\circ - x\). Теперь рассмотрим треугольник ABC: \(\angle BAC = 90^\circ - x\), \(\angle ABC = 90^\circ\), \(\angle ACB = x\). Учитывая, что \(BC = BM\) и \(BM = AM = MC = 3\), следовательно, \(BC = 3\). В прямоугольном треугольнике BHC (\(\angle BHC = 90^\circ\)), используя теорему Пифагора: \(BC^2 = BH^2 + HC^2\). В прямоугольном треугольнике ABH (\(\angle BHA = 90^\circ\)), используя теорему Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\). В прямоугольном треугольнике ABC (\(\angle ABC = 90^\circ\)), используя теорему Пифагора: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). Известно, что \(AC = 6\) и \(BC = 3\). Тогда \(6^2 = AB^2 + 3^2\), значит, \(36 = AB^2 + 9\), откуда \(AB^2 = 27\) и \(AB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами: \(S = \frac{1}{2} * AB * BC = \frac{1}{2} * AC * BH\). Подставляем известные значения: \(S = \frac{1}{2} * 3\sqrt{3} * 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}\). Также, \(S = \frac{1}{2} * 6 * BH\). Значит, \(\frac{9\sqrt{3}}{2} = 3 * BH\), откуда \(BH = \frac{3\sqrt{3}}{2}\). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Из теоремы Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\). Тогда \((3\sqrt{3})^2 = AH^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2\). (27 = AH^2 + \frac{27}{4}\). Значит, \(AH^2 = 27 - \frac{27}{4} = \frac{108 - 27}{4} = \frac{81}{4}\). Следовательно, \(AH = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5\). **Ответ: AH = 4.5**