Задача 4: В треугольнике ABC медианы BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O и взаимно перпендикулярны. Найдите OA, если BB₁=36 см, CC₁=15 см.

Решение: 1. Точка O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, BO : OB₁ = 2 : 1 и CO : OC₁ = 2 : 1. 2. Так как BB₁ = 36 см, то BO = (2/3) * BB₁ = (2/3) * 36 = 24 см, OB₁ = (1/3) * BB₁ = (1/3) * 36 = 12 см. 3. Так как CC₁ = 15 см, то CO = (2/3) * CC₁ = (2/3) * 15 = 10 см, OC₁ = (1/3) * CC₁ = (1/3) * 15 = 5 см. 4. Медианы BB₁ и CC₁ перпендикулярны, значит, треугольник BOC — прямоугольный, с прямым углом ∠BOC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC₁. 5. В прямоугольном треугольнике BOC применим теорему Пифагора: $BC^2 = BO^2 + CO^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$. Следовательно, BC = √676 = 26 см. 6. Продолжим медиану AO до пересечения со стороной BC в точке M. Тогда AM - медиана. И рассмотрим треугольник ABC, где все медианы пересекаются в точке O. Так как медианы перпендикулярны, по свойству медиан треугольника, $AO^2 = \frac{2}{9}(b^2 + c^2) - \frac{1}{9}a^2 $ и $BO^2+CO^2=a^2$, $OC_1^2+OB_1^2 = \frac{1}{4} (b^2 + c^2) - \frac{5}{36}a^2 $. Но в нашем случае можно поступить проще, рассматривая прямоугольные треугольники образованные медианами. Т.к. медианы BB1 и CC1 перпендикулярны, то AO^2 = 4 * (OC1^2+OB1^2)= 4 * (5^2+12^2) = 4*(25+144) = 4*169 = 676. Следовательно OA = sqrt(676) = 26 **Ответ: OA = 26 см**