Задача 1: В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно $10\sqrt{2}$. Запишите решение и ответ.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. 1. Понимание условия: У нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — основания. Диагональ AC является биссектрисой угла A, и угол A равен 45°. Меньшее основание (BC) равно $10\sqrt{2}$. Нужно найти длину диагонали BD. 2. Свойства трапеции: В прямоугольной трапеции один из углов равен 90°. Так как AC — биссектриса угла A, то угол BAC = углу CAD = 45°/2 = 22.5°. 3. Анализ треугольника ABC: Угол ABC = 90° (так как трапеция прямоугольная). Тогда угол ACB = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°. 4. Анализ треугольника ACD: Рассмотрим треугольник ACD. Угол CAD = 22.5°. Пусть CH — высота трапеции, опущенная из вершины C на основание AD. Тогда треугольник CHD — прямоугольный. Следовательно, угол ACD = 90 - 22.5 = 67.5. В этом треугольнике мы ничего не можем сказать о сторонах. 5. Ищем другую зависимость: Поскольку нам дан угол между диагональю и основанием, а также меньшее основание, попробуем найти связь между ними. Нам нужно найти BD. 6. Дополнительные построения: Проведем высоту BK из вершины B на основание AD. Тогда ABKD - прямоугольник, и AK = BC = $10\sqrt{2}$. 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK: Угол BAK = 45°, следовательно, треугольник ABK равнобедренный, и BK = AK = $10\sqrt{2}$. 8. Так как BK является высотой трапеции, то CH = BK = $10\sqrt{2}$. 9. Пусть AD = x. Тогда HD = AD - AH = x - $10\sqrt{2}$. 10. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол CDH = 45°, следовательно, треугольник CHD равнобедренный, и CH = HD = $10\sqrt{2}$. 11. Тогда AD = AH + HD = $10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$. 12. Теперь мы знаем основания AD и BC, а также высоту BK. AD = $20\sqrt{2}$, BC = $10\sqrt{2}$, BK = $10\sqrt{2}$. 13. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. $BD^2 = AB^2 + AD^2$. $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}$. 14. $BD = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (20\sqrt{2})^2} = \sqrt{200 + 800} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$. Ответ: Длина диагонали BD равна $10\sqrt{10}$.