Задача 4: В прямоугольном треугольнике ABC (∠B=90°) проведена высота BK к гипотенузе AC, CK = 18 см, BK = 24 см. Найдите катеты треугольника.

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике ABC высота BK, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два подобных треугольника: ABK и CBK. Также треугольники ABK и CBK подобны треугольнику ABC. 2. Рассмотрим треугольник CBK. Он прямоугольный, поэтому мы можем найти катет BC по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{BK^2 + CK^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ см. 3. Теперь нужно найти катет AB. Для этого найдем AK. Используем свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла: $BK^2 = AK \cdot CK$. Отсюда, $AK = \frac{BK^2}{CK} = \frac{24^2}{18} = \frac{576}{18} = 32$ см. 4. Найдем гипотенузу AC: $AC = AK + CK = 32 + 18 = 50$ см. 5. Теперь найдем AB по теореме Пифагора для треугольника ABC: $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$ см. Ответ: Катеты треугольника ABC: AB = **40 см**, BC = **30 см**.