Задача 9: В коробке лежат три диска. Обе стороны первого цвета апельсина, второго - цвета мякоти грейпфрута, а у третьего одна сторона апельсиновая, а другая грейпфрутовая. Из коробки достают диск и показывают одну из сторон. Вам нужно угадать цвет обратной стороны. Найдите вероятности успеха всегда называть апельсиновый цвет.

В коробке три диска: 1. Диск 1: обе стороны апельсиновые (AA) 2. Диск 2: обе стороны грейпфрутовые (GG) 3. Диск 3: одна сторона апельсиновая, другая грейпфрутовая (AG) Нас просят найти вероятность успеха, если мы всегда называем апельсиновый цвет. Всего у нас 6 сторон у трех дисков. Из них 3 стороны апельсиновые. Если мы видим апельсиновую сторону, то в двух случаях из трех обратная сторона действительно апельсиновая. Поэтому вероятность, что обратная сторона - апельсиновая, когда мы видим апельсиновую сторону равна 2/3 Когда мы случайно выбираем диск, существует 3 возможных случая, и стороны, которые нам показывают, таковы: 1) Если мы выбрали диск AA, то нам показывают апельсиновую сторону. В этом случае обратная сторона всегда апельсиновая. 2) Если мы выбрали диск GG, то нам показывают грейпфрутовую сторону. Мы не называем апельсиновый цвет, поэтому этот случай не рассматриваем. 3) Если мы выбрали диск AG, то нам могут показать либо апельсиновую сторону, либо грейпфрутовую. Если нам показали апельсиновую сторону, обратная сторона грейпфрутовая. Если нам показали грейпфрутовую сторону, обратная сторона апельсиновая. Всего есть 6 возможных исходов, когда выбирается случайная сторона. В 3 случаях показывают апельсиновую сторону, в 3 - грейпфрутовую. Когда показывают апельсиновую, в 2 случаях обратная сторона тоже апельсиновая (обе стороны диска AA, и одна сторона диска AG). Вероятность правильно назвать апельсиновый цвет: 2/3 Однако, если нас просят найти вероятность того, что мы видим апельсиновую сторону, и мы называем, что обратная сторона апельсиновая (то есть, вероятность успеха), то: Всего есть 3 диска. Вероятность вытащить каждый из них равна $\frac{1}{3}$. 1. Если вытащили диск AA, то всегда видим апельсин, и обратная сторона апельсин. Вероятность $\frac{1}{3}$. 2. Если вытащили диск GG, то никогда не видим апельсин. Вероятность 0. 3. Если вытащили диск AG, то с вероятностью $\frac{1}{2}$ видим апельсин, а с вероятностью $\frac{1}{2}$ - грейпфрут. Если видим апельсин, то обратная сторона - грейпфрут. Вероятность $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Вероятность увидеть апельсин: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$. Вероятность, что у диска, который мы видим как апельсин, обратная сторона - апельсин: $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$. Ответ: 2/3