Задача 16: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $32\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около квадрата, а $a$ - длина стороны этого квадрата. 1. **Связь между радиусом и диагональю квадрата:** Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине длины диагонали квадрата. То есть, $R = \frac{d}{2}$, где $d$ - диагональ квадрата. 2. **Находим диагональ квадрата:** Так как $R = 32\sqrt{2}$, то $d = 2R = 2 \cdot 32\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$. 3. **Связь между диагональю и стороной квадрата:** Диагональ квадрата связана с его стороной через теорему Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Тогда, $d = a\sqrt{2}$. 4. **Находим сторону квадрата:** Имеем $a\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $a = \frac{64\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 64$. Таким образом, длина стороны квадрата равна 64. **Ответ:** 64