Задача 3: Около правильного треугольника описана окружность, радиус которой равен 2,5 см. Найдите: а) длину окружности, б) периметр треугольника, в) площадь треугольника.

**Решение:** **а) Длина окружности:** Длина окружности (C) вычисляется по формуле: (C = 2 \pi r), где (r) - радиус окружности. В нашем случае, (r = 2.5) см. Следовательно, \[C = 2 \pi (2.5) = 5 \pi \approx 15.71 \text{ см}\] **Ответ:** Длина окружности равна (5 \pi \approx 15.71) см. **б) Периметр треугольника:** Для правильного треугольника, описанного вокруг окружности радиуса (r), сторона треугольника (a) связана с радиусом окружности соотношением: (r = \frac{a}{\sqrt{3}}). Отсюда, (a = r \sqrt{3}). В нашем случае, (r = 2.5) см. Следовательно, \[a = 2.5 \sqrt{3} \text{ см}\] Периметр (P) правильного треугольника равен (3a). \[P = 3(2.5 \sqrt{3}) = 7.5 \sqrt{3} \approx 12.99 \text{ см}\] **Ответ:** Периметр треугольника равен (7.5 \sqrt{3} \approx 12.99) см. **в) Площадь треугольника:** Площадь (S) правильного треугольника со стороной (a) вычисляется по формуле: (S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}). В нашем случае, (a = 2.5 \sqrt{3}) см. Следовательно, \[S = \frac{(2.5 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6.25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{18.75 \sqrt{3}}{4} = 4.6875 \sqrt{3} \approx 8.12 \text{ см}^2\] **Ответ:** Площадь треугольника равна (4.6875 \sqrt{3} \approx 8.12) см(^2).