Задача 21: Два автомобиля одновременно отправляются в 990-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 11 км/ч меньше, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч позже второго. Найди скорость первого автомобиля.

Пусть ( v_1 ) - скорость первого автомобиля, а ( v_2 ) - скорость второго автомобиля. Расстояние, которое должны проехать оба автомобиля, равно 990 км. Из условия задачи известно, что ( v_1 = v_2 - 11 ). Также известно, что время, затраченное первым автомобилем, на 1 час больше, чем время, затраченное вторым автомобилем. Обозначим время первого автомобиля как ( t_1 ), а время второго автомобиля как ( t_2 ), тогда ( t_1 = t_2 + 1 ). Время равно расстоянию, деленному на скорость, поэтому мы имеем: ( t_1 = \frac{990}{v_1} ) и ( t_2 = \frac{990}{v_2} ) Подставляем эти выражения в уравнение ( t_1 = t_2 + 1 ): ( \frac{990}{v_1} = \frac{990}{v_2} + 1 ) Теперь подставим ( v_1 = v_2 - 11 ) в это уравнение: ( \frac{990}{v_2 - 11} = \frac{990}{v_2} + 1 ) Умножим обе части уравнения на ( v_2(v_2 - 11) ), чтобы избавиться от дробей: ( 990v_2 = 990(v_2 - 11) + v_2(v_2 - 11) ) ( 990v_2 = 990v_2 - 10890 + v_2^2 - 11v_2 ) ( 0 = v_2^2 - 11v_2 - 10890 ) Решаем квадратное уравнение относительно ( v_2 ): ( v_2 = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(1)(-10890)}}{2(1)} ) ( v_2 = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 43560}}{2} ) ( v_2 = \frac{11 \pm \sqrt{43681}}{2} ) ( v_2 = \frac{11 \pm 209}{2} ) Имеем два возможных решения для ( v_2 ): 1) ( v_2 = \frac{11 + 209}{2} = \frac{220}{2} = 110 ) 2) ( v_2 = \frac{11 - 209}{2} = \frac{-198}{2} = -99 ) Так как скорость не может быть отрицательной, то ( v_2 = 110 ) км/ч. Теперь найдем ( v_1 ): ( v_1 = v_2 - 11 = 110 - 11 = 99 ) Таким образом, скорость первого автомобиля равна 99 км/ч. Ответ: 99