Задача №17

В шести ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество нечётно, больше 50 и меньше 100? Решение: Пусть (k_i), (s_i), и (b_i) - количество красных, синих и белых шаров в (i)-том ящике, соответственно. Согласно условию задачи: 1. (s_i = \sum_{j=1, j
eq i}^{6} b_j) - число синих шаров в (i)-том ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. 2. (b_i = \sum_{j=1, j
eq i}^{6} k_j) - число белых шаров в (i)-том ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Обозначим общее количество красных шаров (K = \sum_{i=1}^{6} k_i), общее количество синих шаров (S = \sum_{i=1}^{6} s_i) и общее количество белых шаров (B = \sum_{i=1}^{6} b_i). Суммируя первое уравнение по всем (i) от 1 до 6, получим: \[S = \sum_{i=1}^{6} s_i = \sum_{i=1}^{6} \sum_{j=1, j
eq i}^{6} b_j = 5 \sum_{j=1}^{6} b_j = 5B\] Аналогично, суммируя второе уравнение по всем (i) от 1 до 6, получим: \[B = \sum_{i=1}^{6} b_i = \sum_{i=1}^{6} \sum_{j=1, j
eq i}^{6} k_j = 5 \sum_{j=1}^{6} k_j = 5K\] Из этих двух уравнений следует, что (S = 5B = 5(5K) = 25K). Общее количество шаров (T = K + S + B = K + 25K + 5K = 31K). Так как (T) должно быть нечетным, больше 50 и меньше 100, то ищем такое нечетное (T), которое делится на 31. Единственное такое число: (T = 31 \times 1 = 31) (не подходит, так как меньше 50), (T = 31 \times 2 = 62) (не подходит, так как четное), (T = 31 \times 3 = 93) (подходит). Если (T = 93), то (K = 3), (B = 5K = 15), и (S = 5B = 75). Проверим: (K + B + S = 3 + 15 + 75 = 93). Ответ: 93