За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.

Здравствуйте! Давайте решим эту задачу вместе. В задачах на вероятность важно помнить основную формулу: $$P = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}}$$ **1. Общее количество исходов** Так как стол круглый, общее количество способов рассадить 9 человек за столом равно $(9-1)! = 8!$. Однако, если мы просто рассматриваем рассадку двух девочек среди 9 мест, то общее количество способов выбрать 2 места из 9 равно числу сочетаний из 9 по 2: $$C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$$ **2. Количество благоприятных исходов (девочки не сидят рядом)** Сначала определим количество способов, когда девочки сидят рядом. Представим двух девочек как один блок. Тогда у нас есть 7 мальчиков и 1 блок девочек, то есть 8 "объектов", которые нужно рассадить за круглым столом. Количество способов это сделать равно $(8-1)! = 7!$. Однако, внутри блока девочки могут поменяться местами, поэтому умножаем на 2! (то есть на 2). Таким образом, количество способов, когда девочки сидят рядом, равно $2 \cdot (9-1) = 2 \cdot 8 = 16$ (так как первая девочка может сесть на любое из 9 мест, а вторая должна сесть справа или слева от неё). Другой способ вычислить количество способов, когда девочки не сидят рядом: Общее количество способов рассадить девочек минус количество способов, когда они сидят рядом: $36 - 8 = 28$ $$C_9^2 - 8 = 36 - 8 = 28$$ Однако, если места не пронумерованы, то мы должны разделить полученные числа на общее число мест за столом (9), чтобы учесть вращения. Однако, поскольку нам нужно найти вероятность, мы можем обойтись без этого. Изначально давайте рассмотрим все возможные способы размещения девочек: выбираем первое место для первой девочки - 9 вариантов, выбираем второе место для второй девочки - 8 вариантов. Итого 72 варианта. Однако порядок выбора девочек не важен, поэтому делим на 2: 72/2 = 36. А если учитывать, что это круглый стол, то общее число рассадок равно $(9-1)! = 8! = 40320$. Но проще считать, что число мест для двух девочек из 9: $C_9^2 = 36$. Рассмотрим варианты, когда девочки сидят рядом. Есть 9 вариантов, когда они сидят рядом (каждая девочка занимает место рядом с другой). Количество вариантов, когда девочки не сидят рядом: $36 - 9 = 27$. **3. Вычисление вероятности** Вероятность того, что девочки не сидят рядом: $$P = \frac{28}{36} = \frac{7}{9} $$ Другой способ: $$ P = \frac{36 - 9}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} = 0.75 $$ Также можно вычислить вероятность, что девочки сидят рядом: $\frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0.25$, тогда вероятность, что девочки не сидят рядом: $1 - 0.25 = 0.75$. **Ответ:** Вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом равна **0.75**.