13. Выполните действия. 1) Решите уравнение sin 2x = cos(π/2 - x). 2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1; 4].

1) Решим уравнение \(sin 2x = cos(\frac{\pi}{2} - x)\). Используем формулу приведения \(cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin x\). Тогда уравнение принимает вид: \[sin 2x = sin x\] Используем формулу двойного угла \(sin 2x = 2 sin x cos x\): \[2 sin x cos x = sin x\] Переносим все в левую часть: \[2 sin x cos x - sin x = 0\] Выносим \(sin x\) за скобки: \[sin x (2 cos x - 1) = 0\] Тогда либо \(sin x = 0\), либо \(2 cos x - 1 = 0\). Решаем первое уравнение: \(sin x = 0\). Это выполняется при \(x = \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). Решаем второе уравнение: \(2 cos x - 1 = 0\) \(\Rightarrow\) \(cos x = \frac{1}{2}\). Это выполняется при \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Общее решение: \(x = \pi n, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\). 2) Укажем корни, принадлежащие отрезку [1; 4]. Преобразуем отрезок [1; 4] в радианы, учитывая, что \(\pi \approx 3.14\). Отрезок примерно равен [0.318\(\pi\); 1.274\(\pi\)]. Теперь найдем корни на этом отрезке: Для \(x = \pi n\): \(n = 1\) дает \(x = \pi \approx 3.14\), что принадлежит отрезку [1; 4]. Для \(x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi k\): \(k = 0\) дает \(x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047\), что принадлежит отрезку [1; 4]. Для \(x = -\frac{\pi}{3} + 2 \pi k\): \(k = 1\) дает \(x = -\frac{\pi}{3} + 2 \pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5.236\), что не принадлежит отрезку [1; 4]. Таким образом, корни на отрезке [1; 4] это \(\pi\) и \(\frac{\pi}{3}\). Ответ: \(\pi, \frac{\pi}{3}\)