1. Вычислите: a) cos52° cos 22° + sin 22° sin 52°; б) sin 134° cos 44° - cos 134° sin 44°; в) cos(10π/6) cos(8π/6) - sin(8π/6) sin(10π/6); г) sin α cos 3α - sin 3α cos α; д) cos(α - π/3), если cos α = -15/17 и π/2 < α < π. 2. Преобразуйте в произведение: a) cos 42° - cos 12° 3. Запишите в виде суммы или разности выражение: a) sin 20°. cos10°

{ "1. Вычислите:": { "a)": "Используем формулу косинуса разности: \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). В нашем случае имеем \(\cos(52^\circ - 22^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).", "б)": "Используем формулу синуса разности: \(\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\). В нашем случае имеем \(\sin(134^\circ - 44^\circ) = \sin(90^\circ) = 1\).", "в)": "Используем формулу косинуса суммы: \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). В нашем случае имеем \(\cos(\frac{10\pi}{6} + \frac{8\pi}{6}) = \cos(\frac{18\pi}{6}) = \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1\).", "г)": "Используем формулу синуса разности: \(\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\). В нашем случае имеем \(\sin(\alpha - 3\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha) = -2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\).", "д)": "Используем формулу косинуса разности: \(\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). В нашем случае имеем \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{3} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{3}\). Дано, что \(\cos \alpha = -\frac{15}{17}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Значит, \(\alpha\) во второй четверти, где синус положителен. \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-\frac{15}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}\). Теперь \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = -\frac{15}{17} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8}{17} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-15 + 8\sqrt{3}}{34}\)." }, "2. Преобразуйте в произведение:": { "a)": "Используем формулу разности косинусов: \(\cos a - \cos b = -2 \sin(\frac{a+b}{2}) \sin(\frac{a-b}{2})\). В нашем случае \(\cos 42^\circ - \cos 12^\circ = -2 \sin(\frac{42^\circ + 12^\circ}{2}) \sin(\frac{42^\circ - 12^\circ}{2}) = -2 \sin(27^\circ) \sin(15^\circ)\)." }, "3. Запишите в виде суммы или разности выражение:": { "a)": "Используем формулу произведения синуса на косинус: \(\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a-b)]\). В нашем случае \(\sin 20^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2} [\sin(20^\circ + 10^\circ) + \sin(20^\circ - 10^\circ)] = \frac{1}{2} [\sin(30^\circ) + \sin(10^\circ)] = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \sin(10^\circ)] = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin(10^\circ)\)." } }