Вычислите значение выражения $\sqrt{4\sqrt{2}+6-\sqrt{2}}.$

Для начала упростим выражение под корнем: $\sqrt{4\sqrt{2}+6-\sqrt{2}} = \sqrt{3\sqrt{2}+6}$ Заметим, что выражение под корнем можно представить как полный квадрат: $3\sqrt{2}+6 = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2 + 3(\sqrt{2}) + 1 - ((\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2 + 3(\sqrt{2}) + 1) + 3\sqrt{2}+6 = (\sqrt{2}+1)^3 - (2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1) + 3\sqrt{2}+6$ Однако это не упрощает выражение. Давайте попробуем иначе. Предположим, что $\sqrt{3\sqrt{2}+6}$ можно представить в виде $a+b\sqrt{2}$, где a и b - целые числа. Тогда: $\sqrt{3\sqrt{2}+6} = a+b\sqrt{2}$ Возведем обе части в квадрат: $3\sqrt{2}+6 = (a+b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = (a^2+2b^2) + 2ab\sqrt{2}$ Приравняем рациональные и иррациональные части: $a^2+2b^2 = 6$ $2ab = 3$ Из второго уравнения следует, что $a = \frac{3}{2b}$. Подставим это в первое уравнение: $(\frac{3}{2b})^2 + 2b^2 = 6$ $\frac{9}{4b^2} + 2b^2 = 6$ $9 + 8b^4 = 24b^2$ $8b^4 - 24b^2 + 9 = 0$ Обозначим $x = b^2$, тогда: $8x^2 - 24x + 9 = 0$ Решим квадратное уравнение: $x = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4*8*9}}{2*8} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 288}}{16} = \frac{24 \pm \sqrt{288}}{16} = \frac{24 \pm 12\sqrt{2}}{16} = \frac{6 \pm 3\sqrt{2}}{4}$ Тогда $b^2 = \frac{6 \pm 3\sqrt{2}}{4}$, и b не будет рациональным числом. Попробуем ещё раз. Попробуем представить $\sqrt{6 + 3\sqrt{2}}$ как $\sqrt{x} + \sqrt{y}$: $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$ $x + y = 6$ $4xy = 18$ $xy = \frac{9}{2}$ Тогда $x(6-x) = \frac{9}{2}$ $6x - x^2 = \frac{9}{2}$ $12x - 2x^2 = 9$ $2x^2 - 12x + 9 = 0$ $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 72}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{4} = 3 \pm \frac{3}{2}\sqrt{2}$ Так что и этот способ не приводит к рациональным x и y. В условии, скорее всего, опечатка. Если бы выражение было $\sqrt{4\sqrt{2}+4-\sqrt{2}}$, то было бы $\sqrt{3\sqrt{2}+4}$. Но и это не упрощается. Предположим, что было $\sqrt{4\sqrt{2}+7-\sqrt{2}}$. Тогда $\sqrt{3\sqrt{2}+7}$ - тоже не упрощается. Но если бы было $\sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}$, то тогда ответ был бы $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Пусть задача поставлена правильно. Заметим, что $\sqrt{6+3\sqrt{2}} = \sqrt{6 + \sqrt{18}}$. Подберем числа $a$ и $b$ такие что $a+b = 6$ и $ab = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$. $a(6-a) = \frac{9}{2}$ $6a - a^2 = \frac{9}{2}$ $12a - 2a^2 = 9$ $2a^2 - 12a + 9 = 0$ $a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 72}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{4} = 3 \pm \frac{3}{2}\sqrt{2}$. Так как решить не получается, то ответ: $\sqrt{4\sqrt{2}+6-\sqrt{2}}$