Вычислите следующие выражения:

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы разберем, как упрощать выражения со степенями. Важно помнить основные свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении – вычитаются, а при возведении степени в степень показатели перемножаются. Также нужно уметь работать с отрицательными показателями. Давайте начнем! 1) \(\frac{(5^3)^{-4}}{5^{-11}}\) * Сначала упростим числитель: ((5^3)^{-4} = 5^{3 cdot (-4)} = 5^{-12}\). * Теперь у нас: \(\frac{5^{-12}}{5^{-11}}\) * При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(5^{-12 - (-11)} = 5^{-12 + 11} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2\). **Ответ: 0.2** 2) \(5^{-7} \cdot (5^5)^2\) * Сначала упростим вторую степень: \((5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}\). * Теперь у нас: \(5^{-7} \cdot 5^{10}\). * При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: \(5^{-7 + 10} = 5^3 = 125\). **Ответ: 125** 3) \(\frac{5^{-3} \cdot 5^{-9}}{5^{-11}}\) * Сначала упростим числитель: \(5^{-3} \cdot 5^{-9} = 5^{-3 + (-9)} = 5^{-12}\). * Теперь у нас: \(\frac{5^{-12}}{5^{-11}}\) * При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(5^{-12 - (-11)} = 5^{-12 + 11} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2\). **Ответ: 0.2** 4) \((6 \cdot 10^2)^3 \cdot (13 \cdot 10^{-5})\) * Сначала возведем в куб первую скобку: \((6 \cdot 10^2)^3 = 6^3 \cdot (10^2)^3 = 216 \cdot 10^6\). * Теперь у нас: \(216 \cdot 10^6 \cdot 13 \cdot 10^{-5}\). * Умножим числа и степени отдельно: \(216 \cdot 13 = 2808\) и \(10^6 \cdot 10^{-5} = 10^{6 + (-5)} = 10^1 = 10\). * Результат: \(2808 \cdot 10 = 28080\). **Ответ: 28080** 5) \(\frac{7^{-3} \cdot 7^{13}}{7^8}\) * Сначала упростим числитель: \(7^{-3} \cdot 7^{13} = 7^{-3 + 13} = 7^{10}\). * Теперь у нас: \(\frac{7^{10}}{7^8}\) * При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(7^{10 - 8} = 7^2 = 49\). **Ответ: 49** 6) \(\frac{(2^4)^{-6}}{2^{-27}}\) * Сначала упростим числитель: \((2^4)^{-6} = 2^{4 \cdot (-6)} = 2^{-24}\). * Теперь у нас: \(\frac{2^{-24}}{2^{-27}}\) * При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(2^{-24 - (-27)} = 2^{-24 + 27} = 2^3 = 8\). **Ответ: 8** 7) \(3^{-8} \cdot (3^6)^2\) * Сначала упростим вторую степень: \((3^6)^2 = 3^{6 \cdot 2} = 3^{12}\). * Теперь у нас: \(3^{-8} \cdot 3^{12}\). * При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: \(3^{-8 + 12} = 3^4 = 81\). **Ответ: 81** 8) \(\frac{4^8 \cdot 11^{10}}{4^4 \cdot 11^8}\) *Разделим степени с одинаковыми основаниями: \(\frac{4^8}{4^4} = 4^{8-4} = 4^4\) и \(\frac{11^{10}}{11^8} = 11^{10-8} = 11^2\). *Теперь перемножим результаты: \(4^4 \cdot 11^2 = 256 \cdot 121 = 30976\). **Ответ: 30976**