Вычислите: $\sin 45^\circ \cdot \sin 420^\circ$.

Сначала найдем значение $\sin 45^\circ$ и $\sin 420^\circ$. $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Для вычисления $\sin 420^\circ$, учтем, что синус периодичен с периодом $360^\circ$. $\sin 420^\circ = \sin (420^\circ - 360^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Теперь перемножим значения: $\sin 45^\circ \cdot \sin 420^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$