Вычислите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в треугольную пирамиду, если все боковые ребра пирамиды равны и образуют между собой углы величиной 60 градусов, а длина каждого бокового ребра равна $4\sqrt{3}$ см.

Задача: Найти площадь боковой поверхности конуса, вписанного в треугольную пирамиду, у которой все боковые ребра равны и образуют между собой углы 60 градусов, а длина каждого бокового ребра равна $4\sqrt{3}$ см. Решение: 1. Определение типа пирамиды: Поскольку все боковые ребра треугольной пирамиды равны и углы между ними равны 60 градусов, значит, в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого треугольника. Также можно сказать, что пирамида является правильной. 2. Нахождение радиуса основания конуса: Радиус основания конуса равен радиусу вписанной окружности в равносторонний треугольник. Высота равностороннего треугольника равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - сторона треугольника. Так как боковые ребра пирамиды образуют углы 60 градусов, то сторона основания равна боковому ребру, то есть $a = 4\sqrt{3}$ см. 3. Высота равностороннего треугольника: $h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см. 4. Радиус вписанной окружности (основания конуса): $r = \frac{h}{3} = \frac{6}{3} = 2$ см. 5. Нахождение образующей конуса: Образующая конуса равна боковому ребру пирамиды, то есть $l = 4\sqrt{3}$ см. 6. Площадь боковой поверхности конуса: Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ - радиус основания, $l$ - образующая конуса. $S_{бок} = \pi \cdot 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \pi$ (см$^2$) Ответ: $\mathbf{8\sqrt{3}}$