Вычислите определитель матрицы: \[ D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

Для вычисления определителя матрицы D, воспользуемся разложением по первой строке: \[ \begin{aligned} D &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (5 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) + 2 \cdot (3 \cdot 2 - (-1) \cdot 4) + 3 \cdot (3 \cdot 1 - 5 \cdot 4) \\ &= 1 \cdot (10 + 1) + 2 \cdot (6 + 4) + 3 \cdot (3 - 20) \\ &= 1 \cdot 11 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot (-17) \\ &= 11 + 20 - 51 \\ &= 31 - 51 \\ &= -20 \end{aligned} \] Ответ: -20 Разъяснение для ученика: Чтобы вычислить определитель матрицы 3x3, мы можем использовать разложение по строке или столбцу. В данном случае, я выбрал разложение по первой строке. Формула выглядит так: \[ D = a_{11} \cdot M_{11} - a_{12} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot M_{13} \] где (a_{ij}) - элементы матрицы, а (M_{ij}) - миноры, соответствующие этим элементам. Минор (M_{ij}) - это определитель матрицы, полученной из исходной матрицы путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца. В нашем случае: - (a_{11} = 1), (M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (5 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = 11) - (a_{12} = -2), (M_{12} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2 - (-1) \cdot 4) = 10) - (a_{13} = 3), (M_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (3 \cdot 1 - 5 \cdot 4) = -17) Подставляем значения в формулу и получаем: \[ D = 1 \cdot 11 - (-2) \cdot 10 + 3 \cdot (-17) = 11 + 20 - 51 = -20 \]