Вычислите объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы, если сторона основания равна 10 см, а высота призмы равна $15\sqrt{3}$ см.

Для решения этой задачи, нам нужно знать формулы для объема и площади поверхности правильной треугольной призмы. 1. Объем призмы: Объем призмы равен площади основания, умноженной на высоту. Поскольку основание - правильный треугольник, его площадь можно вычислить по формуле: $S_{основания} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, где $a$ - сторона основания. В нашем случае, $a = 10$ см, поэтому: $S_{основания} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3}$ см$^2$. Теперь найдем объем призмы, умножив площадь основания на высоту: $V = S_{основания} \cdot h = 25 \sqrt{3} \cdot 15 \sqrt{3} = 25 \cdot 15 \cdot 3 = 1125$ см$^3$. 2. Площадь поверхности призмы: Площадь поверхности призмы состоит из суммы площадей двух оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех прямоугольников, каждый из которых имеет сторону основания $a$ и высоту призмы $h$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 3 \cdot a \cdot h = 3 \cdot 10 \cdot 15 \sqrt{3} = 450 \sqrt{3}$ см$^2$. Полная площадь поверхности: $S_{полная} = 2 \cdot S_{основания} + S_{бок} = 2 \cdot 25 \sqrt{3} + 450 \sqrt{3} = 50 \sqrt{3} + 450 \sqrt{3} = 500 \sqrt{3}$ см$^2$. Ответ: Объем призмы равен 1125 см$^3$. Площадь поверхности призмы равна $500\sqrt{3}$ см$^2$.