Вычислить скалярное произведение векторов: 1) $\vec{a}(2;-1)$, $\vec{b}(4;3)$ 2) $\vec{a}(-3;4)$, $\vec{b}(3;-2)$ Найти косинус угла между векторами: $\vec{a}(4;-1)$ и $\vec{b}(-6;-8)$ 3. Даны векторы $\vec{c}(x;6)$ и $\vec{d}(3;-2)$. При каком значении $x$ векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ перпендикулярны?

Здравствуйте, ученики! Сегодня мы с вами решим задачи на скалярное произведение векторов, нахождение косинуса угла между векторами и условие перпендикулярности векторов. 1) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}(2;-1)$ и $\vec{b}(4;3)$. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$. В нашем случае: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(4) + (-1)(3) = 8 - 3 = 5$. Итак, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$. 2) Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}(-3;4)$ и $\vec{b}(3;-2)$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(3) + (4)(-2) = -9 - 8 = -17$. Итак, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -17$. Теперь найдем косинус угла между векторами $\vec{a}(4;-1)$ и $\vec{b}(-6;-8)$. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ Сначала найдем скалярное произведение векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(-6) + (-1)(-8) = -24 + 8 = -16$. Теперь найдем модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$. $|\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Подставим значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\alpha) = \frac{-16}{\sqrt{17} \cdot 10} = \frac{-16}{10\sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$. 3) Найдем значение $x$, при котором векторы $\vec{c}(x;6)$ и $\vec{d}(3;-2)$ перпендикулярны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$. Тогда, $(x)(3) + (6)(-2) = 0$. $3x - 12 = 0$. $3x = 12$. $x = \frac{12}{3} = 4$. Итак, $x = 4$. **Ответ:** 1) Скалярное произведение равно 5. 2) Скалярное произведение равно -17, косинус угла между векторами равен $-\frac{8}{5\sqrt{17}}$. 3) Векторы перпендикулярны при $x = 4$. Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять эту тему. Удачи в учебе!