1. Вычислить производные. a) φ(x)=x³-4x⁴ б) φ(x)=2(x² + 3x + 1)³ в) φ(x)=eˣ(3-x²) г) φ(x)=x⁴/(x³-4) д) φ(x)=(4 – 4x) + sin(2x - 3) 2. Найдите значения корня n-ой степени √[4]95

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эти примеры на нахождение производных и вычисление корня. 1. Вычислить производные. a) \(\varphi(x) = x^3 - 4x^4\) Чтобы найти производную, используем правило производной суммы/разности и правило производной степенной функции: \(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\) \(\varphi'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(4x^4) = 3x^2 - 4 \cdot 4x^3 = 3x^2 - 16x^3\) Ответ: \(\varphi'(x) = 3x^2 - 16x^3\) б) \(\varphi(x) = 2(x^2 + 3x + 1)^3\) Здесь нам понадобится правило цепочки (chain rule): Если \(y = f(u)\) и \(u = g(x)\), то \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\) Пусть \(u = x^2 + 3x + 1\), тогда \(\varphi(x) = 2u^3\). \(\frac{d \varphi}{dx} = 2 \cdot 3u^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 1) = 6(x^2 + 3x + 1)^2 \cdot (2x + 3)\) Ответ: \(\varphi'(x) = 6(x^2 + 3x + 1)^2(2x + 3)\) в) \(\varphi(x) = e^x(3 - x^2)\) Используем правило произведения: \(\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'\) \(\varphi'(x) = (e^x)'(3 - x^2) + e^x(3 - x^2)' = e^x(3 - x^2) + e^x(-2x) = e^x(3 - x^2 - 2x)\) Ответ: \(\varphi'(x) = e^x(3 - x^2 - 2x)\) г) \(\varphi(x) = \frac{x^4}{x^3 - 4}\) Используем правило частного: \(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) \(\varphi'(x) = \frac{(x^4)'(x^3 - 4) - x^4(x^3 - 4)'}{(x^3 - 4)^2} = \frac{4x^3(x^3 - 4) - x^4(3x^2)}{(x^3 - 4)^2} = \frac{4x^6 - 16x^3 - 3x^6}{(x^3 - 4)^2} = \frac{x^6 - 16x^3}{(x^3 - 4)^2}\) Ответ: \(\varphi'(x) = \frac{x^6 - 16x^3}{(x^3 - 4)^2}\) д) \(\varphi(x) = (4 - 4x) + \sin(2x - 3)\) \(\varphi'(x) = (4 - 4x)' + (\sin(2x - 3))' = -4 + \cos(2x - 3) \cdot 2 = -4 + 2\cos(2x - 3)\) Ответ: \(\varphi'(x) = -4 + 2\cos(2x - 3)\) 2. Найдите значения корня n-ой степени \(\sqrt[4]{95}\) Четвертая степень из 95. Так как 95 находится между \(3^4 = 81\) и \(4^4 = 256\), корень будет между 3 и 4. Можно воспользоваться калькулятором для более точного значения. \(\sqrt[4]{95} \approx 3.12\) Ответ: \(\sqrt[4]{95} \approx 3.12\)