Вычислить производную частного функций, используя формулу вычисления производной логарифмированием: \[\left(\frac{u^{12}}{v^5}\right)' = \left(\frac{u^{12}}{v^5}\right)\left(\frac{12}{u} u'v - \frac{5}{v} uv'\right).\]

Давай решим эту задачу пошагово. Нам нужно найти производную функции \(\frac{u^{12}}{v^5}\). Предлагается использовать формулу логарифмического дифференцирования. Пусть \(y = \frac{u^{12}}{v^5}\). Тогда возьмем натуральный логарифм от обеих частей: \[\ln(y) = \ln\left(\frac{u^{12}}{v^5}\right) = 12\ln(u) - 5\ln(v).\] Теперь продифференцируем обе части по \(x\): \[\frac{y'}{y} = \frac{12u'}{u} - \frac{5v'}{v}.\] Выразим \(y'\): \[y' = y\left(\frac{12u'}{u} - \frac{5v'}{v}\right).\] Подставим исходное выражение для \(y\): \[y' = \frac{u^{12}}{v^5}\left(\frac{12u'}{u} - \frac{5v'}{v}\right).\] Чтобы привести к виду, предложенному в задании, преобразуем выражение в скобках: \[y' = \frac{u^{12}}{v^5}\left(\frac{12u'v - 5uv'}{uv}\right).\] Таким образом, формула принимает вид: \[\left(\frac{u^{12}}{v^5}\right)' = \frac{u^{12}}{v^5} \left(\frac{1}{uv}\right) (12u'v - 5uv').\] Теперь заполним пропуски: 1. Первая дробь: \(\frac{u^{12}}{v^5}\) 2. Вторая дробь: \(\frac{1}{uv}\) 3. Первый член в скобках: \(12u'v\) 4. Второй член в скобках: \(5uv'\) Ответ: \[\left(\frac{u^{12}}{v^5}\right)' = \frac{u^{12}}{v^5} \left(\frac{1}{uv}\right) (12u'v - 5uv').\]