Вычислить определенные интегралы:

Приветствую! Давайте решим эти интегралы пошагово: **1.a) $\int_1^2 (3x^2 - 2x) dx$** * Найдем первообразную функции $3x^2 - 2x$: $\int (3x^2 - 2x) dx = x^3 - x^2 + C$ * Вычислим определенный интеграл, используя пределы интегрирования: $\int_1^2 (3x^2 - 2x) dx = [x^3 - x^2]_1^2 = (2^3 - 2^2) - (1^3 - 1^2) = (8 - 4) - (1 - 1) = 4 - 0 = 4$ **Ответ: 4** **1.b) $\int_{\pi}^{2\pi} \frac{\cos x}{6} dx$** * Найдем первообразную функции $\frac{\cos x}{6}$: $\int \frac{\cos x}{6} dx = \frac{1}{6} \sin x + C$ * Вычислим определенный интеграл: $\int_{\pi}^{2\pi} \frac{\cos x}{6} dx = [\frac{1}{6} \sin x]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{6} \sin(2\pi) - \frac{1}{6} \sin(\pi) = \frac{1}{6}(0) - \frac{1}{6}(0) = 0$ **Ответ: 0** **11.a) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{\cos^2(\frac{1}{2}x)} dx$** * Найдем первообразную функции $\frac{3}{\cos^2(\frac{1}{2}x)}$: $\int \frac{3}{\cos^2(\frac{1}{2}x)} dx = 3 \int \frac{1}{\cos^2(\frac{1}{2}x)} dx = 3 \cdot 2 \tan(\frac{1}{2}x) + C = 6 \tan(\frac{1}{2}x) + C$ * Вычислим определенный интеграл: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{\cos^2(\frac{1}{2}x)} dx = [6 \tan(\frac{1}{2}x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = 6 \tan(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - 6 \tan(0) = 6 \tan(\frac{\pi}{4}) - 6(0) = 6(1) - 0 = 6$ **Ответ: 6** **11.b) $\int_2^3 (1-x)^4 dx$** * Сделаем замену $u = 1-x$, тогда $du = -dx$, и $dx = -du$. Когда $x = 2$, $u = -1$. Когда $x = 3$, $u = -2$. * Интеграл преобразуется в: $\int_2^3 (1-x)^4 dx = \int_{-1}^{-2} u^4 (-du) = -\int_{-1}^{-2} u^4 du = \int_{-2}^{-1} u^4 du$ * Найдем первообразную функции $u^4$: $\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$ * Вычислим определенный интеграл: $\int_{-2}^{-1} u^4 du = [\frac{u^5}{5}]_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^5}{5} - \frac{(-2)^5}{5} = \frac{-1}{5} - \frac{-32}{5} = \frac{-1 + 32}{5} = \frac{31}{5}$ **Ответ: $\frac{31}{5}$** **21.a) $\int_1^2 (4x^3 - 3x^2) dx$** * Найдем первообразную функции $4x^3 - 3x^2$: $\int (4x^3 - 3x^2) dx = x^4 - x^3 + C$ * Вычислим определенный интеграл: $\int_1^2 (4x^3 - 3x^2) dx = [x^4 - x^3]_1^2 = (2^4 - 2^3) - (1^4 - 1^3) = (16 - 8) - (1 - 1) = 8 - 0 = 8$ **Ответ: 8** **21.b) $\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x+3}}$** * Сделаем замену $u = x + 3$, тогда $du = dx$. Когда $x = 0$, $u = 3$. Когда $x = 4$, $u = 7$. * Интеграл преобразуется в: $\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x+3}} = \int_3^7 \frac{du}{\sqrt{u}} = \int_3^7 u^{-\frac{1}{2}} du$ * Найдем первообразную функции $u^{-\frac{1}{2}}$: $\int u^{-\frac{1}{2}} du = 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{u} + C$ * Вычислим определенный интеграл: $\int_3^7 u^{-\frac{1}{2}} du = [2\sqrt{u}]_3^7 = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{3} = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ **Ответ: $2(\sqrt{7} - \sqrt{3})$** Надеюсь, это поможет!