Вычислить объем прямой призмы, основанием которой является трапеция с основаниями 6 см и 27 см и боковыми сторонами 13 см и 20 см, если ее высота равна 3 см.

Для решения этой задачи нам понадобится формула объема призмы: $V = S_{осн} * h$, где $S_{осн}$ - площадь основания (трапеции), а $h$ - высота призмы. 1. Найдем площадь основания (трапеции): Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} * h_{тр}$, где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h_{тр}$ - высота трапеции. Нам известны основания трапеции $a = 6$ см и $b = 27$ см. Чтобы найти высоту трапеции, воспользуемся тем, что боковые стороны равны 13 см и 20 см. Проведём высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим два прямоугольных треугольника. Пусть $x$ - длина отрезка большего основания, прилежащего к боковой стороне 13 см, а $y$ - длина отрезка большего основания, прилежащего к боковой стороне 20 см. Тогда $x + y = 27 - 6 = 21$. Высоту трапеции $h_{тр}$ можно найти, используя теорему Пифагора для каждого из прямоугольных треугольников: $h_{тр}^2 + x^2 = 13^2$ => $h_{тр}^2 = 169 - x^2$ $h_{тр}^2 + y^2 = 20^2$ => $h_{тр}^2 = 400 - y^2$ Приравниваем выражения для $h_{тр}^2$: $169 - x^2 = 400 - y^2$ $y^2 - x^2 = 400 - 169$ $(y - x)(y + x) = 231$ Так как $x + y = 21$, то $y - x = \frac{231}{21} = 11$. Теперь у нас есть система уравнений: $x + y = 21$ $y - x = 11$ Сложим эти уравнения, чтобы найти $y$: $2y = 32$ $y = 16$ Тогда $x = 21 - 16 = 5$. Подставим значение $x$ в уравнение $h_{тр}^2 = 169 - x^2$: $h_{тр}^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $h_{тр} = \sqrt{144} = 12$ см Теперь можем вычислить площадь трапеции: $S_{осн} = \frac{6 + 27}{2} * 12 = \frac{33}{2} * 12 = 33 * 6 = 198$ см$^2$ 2. Найдем объем призмы: $V = S_{осн} * h = 198 * 3 = 594$ см$^3$ Ответ: Объем призмы равен 594 см$^3$.