Вычислить интегралы:

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами научимся вычислять определенные интегралы. Рассмотрим каждый пример пошагово. **a) \(\int_{1}^{21} 1 dx\)** 1. **Находим первообразную:** Первообразная функции 1 равна x. 2. **Применяем формулу Ньютона-Лейбница:** \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \] где \(F(x)\) - первообразная \(f(x)\). В нашем случае: \[ \int_{1}^{21} 1 dx = x \Big|_{1}^{21} = 21 - 1 = 20 \] *Ответ: 20* **б) \(\int_{0}^{2} (1 + 2x + x^2) dx\)** 1. **Находим первообразную:** Первообразная функции \(1 + 2x + x^2\) равна \(x + x^2 + \frac{x^3}{3}\). 2. **Применяем формулу Ньютона-Лейбница:** \[ \int_{0}^{2} (1 + 2x + x^2) dx = \left(x + x^2 + \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{0}^{2} = \left(2 + 2^2 + \frac{2^3}{3}\right) - \left(0 + 0^2 + \frac{0^3}{3}\right) = 2 + 4 + \frac{8}{3} = 6 + \frac{8}{3} = \frac{18 + 8}{3} = \frac{26}{3} \] *Ответ: \(\frac{26}{3}\)* **в) \(\int_{0}^{3} (x - 2)(x + 2) dx\)** 1. **Упрощаем подынтегральное выражение:** \[ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 \] 2. **Находим первообразную:** Первообразная функции \(x^2 - 4\) равна \(\frac{x^3}{3} - 4x\). 3. **Применяем формулу Ньютона-Лейбница:** \[ \int_{0}^{3} (x^2 - 4) dx = \left(\frac{x^3}{3} - 4x\right) \Big|_{0}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 4 \cdot 0\right) = \frac{27}{3} - 12 = 9 - 12 = -3 \] *Ответ: -3* **Развёрнутый ответ для школьника:** Сегодня мы решали задачи на вычисление определенных интегралов. Важно помнить, что сначала нужно найти первообразную функции, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница, чтобы найти значение интеграла на заданном промежутке. При вычислении сложных интегралов иногда полезно сначала упростить выражение под интегралом. Надеюсь, теперь вам стало понятнее, как решать такие задачи! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь их задавать.