Вычислить интеграл \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}\).

Для вычисления интеграла \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}\), мы можем использовать замену переменной. Пусть \(u = 2x\), тогда \(du = 2dx\) и \(dx = \frac{1}{2} du\). Интеграл принимает вид: \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}} = \int \frac{\frac{1}{2} du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} Интеграл \(\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\) является известным интегралом и равен \(\arcsin(u) + C\). Таким образом, получаем: \(\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2} \arcsin(u) + C\) Возвращаемся к исходной переменной \(x\): \(\frac{1}{2} \arcsin(2x) + C\) Таким образом, интеграл равен \(\frac{1}{2} \arcsin(2x) + C\). **Ответ:** \(\frac{1}{2} \arcsin(2x) + C\) Развернутый ответ: Для решения данного интеграла мы использовали метод замены переменной. Исходный интеграл имел вид интеграла от функции, содержащей выражение \(\sqrt{1-4x^2}\). Чтобы упростить выражение под корнем, мы сделали замену \(u = 2x\), что позволило нам привести интеграл к табличному виду, а именно к интегралу от функции \(\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\, интеграл от которой равен \(\arcsin(u)\). После этого мы вернулись к исходной переменной и получили окончательный ответ.