Вычисли область определения функции ( f(x) = \sqrt{\frac{3}{-16 + x^2}} ).

Для того чтобы найти область определения функции, необходимо учесть два условия: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. 2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю. В нашем случае, подкоренное выражение это дробь \(\frac{3}{-16 + x^2}\). Так как числитель дроби равен 3 (положительное число), то вся дробь будет положительной или равной нулю только тогда, когда знаменатель \(-16 + x^2\) будет строго больше нуля. Почему строго больше? Потому что знаменатель не может быть равен нулю. Решим неравенство: \[-16 + x^2 > 0\] \[x^2 > 16\] Это неравенство можно переписать как: \[x^2 - 16 > 0\] Разложим на множители, используя формулу разности квадратов: \[(x - 4)(x + 4) > 0\] Теперь найдем нули функции: \(x - 4 = 0\) и \(x + 4 = 0\). Отсюда \(x = 4\) и \(x = -4\). Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения \((x - 4)(x + 4)\) на каждом из полученных интервалов: \((-\infty; -4)\), \((-4; 4)\) и \((4; +\infty)\). * При \(x < -4\), например, при \(x = -5\): \((-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) = 9 > 0\). * При \(-4 < x < 4\), например, при \(x = 0\): \((0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) = -16 < 0\). * При \(x > 4\), например, при \(x = 5\): \((5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) = 9 > 0\). Таким образом, неравенство \((x - 4)(x + 4) > 0\) выполняется при \(x < -4\) и при \(x > 4\). Следовательно, область определения функции \(f(x)\) состоит из двух интервалов: \((-\infty; -4)\) и \((4; +\infty)\). Ответ: (x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty))