Вычисли, используя распределительное свойство умножения: \[-3\frac{5}{7} \cdot (\frac{1}{13} + \frac{42}{78}) + \frac{1}{4} \cdot 2\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{4}) = ?\]

Здравствуйте, ученики! Давайте решим этот пример вместе, используя распределительное закон умножения и приведем все к общему знаменателю, чтобы было проще складывать и вычитать дроби. 1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные дроби: \[-3\frac{5}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 5}{7} = -\frac{26}{7}\] \[2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}\] 2. Упростим выражение в скобках, приведем дроби к общему знаменателю 78: \[\frac{1}{13} + \frac{42}{78} = \frac{1 \cdot 6}{13 \cdot 6} + \frac{42}{78} = \frac{6}{78} + \frac{42}{78} = \frac{48}{78}\] 3. Сократим дробь \(\frac{48}{78}\), разделив числитель и знаменатель на 6: \[\frac{48}{78} = \frac{48 : 6}{78 : 6} = \frac{8}{13}\] 4. Теперь перепишем исходное выражение с учетом преобразований: \[-\frac{26}{7} \cdot \frac{8}{13} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{5}{4}\right)\] 5. Выполним умножение: \[-\frac{26}{7} \cdot \frac{8}{13} = -\frac{26 \cdot 8}{7 \cdot 13} = -\frac{2 \cdot 13 \cdot 8}{7 \cdot 13} = -\frac{2 \cdot 8}{7} = -\frac{16}{7}\] \[\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{5}{8}\] \[\frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 4} = -\frac{25}{8}\] 6. Соберем все вместе: \[-\frac{16}{7} + \frac{5}{8} - \frac{25}{8}\] 7. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 8 будет 56: \[-\frac{16}{7} = -\frac{16 \cdot 8}{7 \cdot 8} = -\frac{128}{56}\] \[\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}\] \[-\frac{25}{8} = -\frac{25 \cdot 7}{8 \cdot 7} = -\frac{175}{56}\] 8. Выполним сложение и вычитание: \[-\frac{128}{56} + \frac{35}{56} - \frac{175}{56} = \frac{-128 + 35 - 175}{56} = \frac{-268}{56}\] 9. Сократим дробь \(-\frac{268}{56}\), разделив числитель и знаменатель на 4: \[-\frac{268}{56} = -\frac{268 : 4}{56 : 4} = -\frac{67}{14}\] 10. Представим неправильную дробь в виде смешанной дроби: \[-\frac{67}{14} = -4\frac{11}{14}\] Таким образом, ответ: -4 \(\frac{11}{14}\)