Первое предложение: "Иван Петрович, видя, что гость задумчив и скучает, вынул из жилетного кармана записочки, прочёл смешное письмо немца-управляющего о том, как в имении испортились все запирательства и обвалилась застенчивость." содержит два придаточных: "видя, что гость задумчив и скучает" и "о том, как в имении испортились все запирательства и обвалилась застенчивость".
Второе предложение: "Он пополнел, раздобрел и неохотно ходил пешком, так как страдал одышкой." содержит одно придаточное: "так как страдал одышкой".
Третье предложение: "В городе maman и Володя жили у Марьи Петровны, дамы-дворянки, которая нанимала большую квартиру и от себя сдавала её жильцам." содержит одно придаточное: "которая нанимала большую квартиру и от себя сдавала её жильцам".
Четвертое предложение: "Вернувшись домой, он лёг на диван и укрылся одеялом, чтобы унять дрожь." содержит одно придаточное: "чтобы унять дрожь".
Предложение с несколькими придаточными - первое, в нем 2 придаточных.
Таким образом, количество придаточных частей в выбранном СПП равно 2.