7. Винни-Пух и Пятачок. Условие задания: У Винни-Пуха и Пятачка всего 50 медовых кексов. Если Пятачок подарит Винни-Пуху половину своих кексов, то у Винни их будет меньше 45. Если же он подарит Пуху $\frac{2}{3}$ своих кексов, то у Пуха кексов станет больше 45. Сколько медовых кексов у Пятачка? (Кекс нельзя делить на дробные куски.)

Решение: Пусть у Пятачка $x$ кексов, а у Винни-Пуха $y$ кексов. Тогда мы знаем, что: $x + y = 50$ Первый случай: Пятачок отдает половину своих кексов Винни-Пуху. Тогда у Винни-Пуха становится $y + \frac{x}{2}$ кексов, и это количество меньше 45: $y + \frac{x}{2} < 45$ Второй случай: Пятачок отдает $\frac{2}{3}$ своих кексов Винни-Пуху. Тогда у Винни-Пуха становится $y + \frac{2}{3}x$ кексов, и это количество больше 45: $y + \frac{2}{3}x > 45$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 50 - x$. Подставим это в неравенства: $50 - x + \frac{x}{2} < 45$ $50 - x + \frac{2}{3}x > 45$ Упростим неравенства: $50 - \frac{x}{2} < 45$ $50 - \frac{x}{3} > 45$ Решим неравенства: $\frac{x}{2} > 5$ $\frac{x}{3} < 5$ $x > 10$ $x < 15$ Итак, $10 < x < 15$. Поскольку кексы нельзя делить, $x$ может быть только целым числом. Значит, $x$ может быть 11, 12, 13 или 14. Проверим каждое из этих значений, чтобы убедиться, что оба условия выполняются. Если $x = 11$, то $y = 50 - 11 = 39$. Тогда $39 + \frac{11}{2} = 39 + 5.5 = 44.5 < 45$ и $39 + \frac{2}{3} \cdot 11 = 39 + \frac{22}{3} = 39 + 7.\overline{3} = 46.\overline{3} > 45$. Подходит. Если $x = 12$, то $y = 50 - 12 = 38$. Тогда $38 + \frac{12}{2} = 38 + 6 = 44 < 45$ и $38 + \frac{2}{3} \cdot 12 = 38 + 8 = 46 > 45$. Подходит. Если $x = 13$, то $y = 50 - 13 = 37$. Тогда $37 + \frac{13}{2} = 37 + 6.5 = 43.5 < 45$ и $37 + \frac{2}{3} \cdot 13 = 37 + \frac{26}{3} = 37 + 8.\overline{6} = 45.\overline{6} > 45$. Подходит. Если $x = 14$, то $y = 50 - 14 = 36$. Тогда $36 + \frac{14}{2} = 36 + 7 = 43 < 45$ и $36 + \frac{2}{3} \cdot 14 = 36 + \frac{28}{3} = 36 + 9.\overline{3} = 45.\overline{3} > 45$. Подходит. Все эти значения подходят, но так как в ответе нужно указать одно число, то надо указать количество кексов у Пятачка такое, чтобы после передачи половины кексов Винни-Пуху, у Винни-Пуха стало меньше 45, а после передачи 2/3 кексов Винни-Пуху, у Винни-Пуха стало больше 45. То есть нам нужно выбрать число, при котором оба условия строго выполняются. Однако, в условии задачи нет никаких дополнительных ограничений, поэтому можно указать любое из этих значений. Я выберу наименьшее из возможных: 11 Развернутый ответ: Мы решали задачу, используя систему неравенств, основанную на условиях задачи. Сначала мы выразили общее количество кексов через $x$ и $y$. Затем записали два неравенства, описывающих ситуацию, когда Пятачок делится кексами с Винни-Пухом. Выразили $y$ через $x$ и решили неравенства, чтобы найти диапазон возможных значений $x$. Проверили каждое значение из диапазона, чтобы убедиться, что все условия выполняются. Выбрали наименьшее возможное число, чтобы получить окончательный ответ.