2-вариант 1. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника равна 25см, а ВС=7см. Найдите синус, косинус и тангенс ∠A. 2.Вычислите: a) 3·tg30°-2·√2·sin 60°·cos45°; б) 4·sin60°-tg45°·cos30°. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5√2 , а катет 5. Найдите углы данного треугольника. 4.Сторона правильного треугольника равна 8см. Найдите его площадь. 5. Найдите: sin α и tg α, если cos α = 0,8.

{"solutions": [ { "problem": "1. Гипотенуза AB = 25 см, BC = 7 см. Найти sin A, cos A, tan A.", "solution": "В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C - прямой, гипотенуза AB = 25 см, а катет BC = 7 см. Нам нужно найти sin A, cos A и tan A. Сначала найдем катет AC, используя теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Отсюда $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$. Следовательно, $AC = \sqrt{576} = 24$ см. Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла A: * $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28$ * $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96$ * $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \approx 0.2917$" }, { "problem": "2. Вычислите: a) $3 \cdot \tan 30^\circ - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ$; б) $4 \cdot \sin 60^\circ - \tan 45^\circ \cdot \cos 30^\circ$.", "solution": "a) $3 \cdot \tan 30^\circ - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$ б) $4 \cdot \sin 60^\circ - \tan 45^\circ \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$" }, { "problem": "3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $5\sqrt{2}$, а катет 5. Найдите углы данного треугольника.", "solution": "Пусть гипотенуза равна c = $5\sqrt{2}$, а катет a = 5. Найдем второй катет b, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Отсюда $b^2 = c^2 - a^2 = (5\sqrt{2})^2 - 5^2 = 50 - 25 = 25$. Следовательно, b = \sqrt{25} = 5. Таким образом, катеты равны, значит, треугольник равнобедренный. Так как это прямоугольный треугольник, один из углов равен 90°. Два других угла равны между собой, и их сумма равна 90°. Значит, каждый из этих углов равен 45°. Ответ: углы треугольника 45°, 45° и 90°." }, { "problem": "4. Сторона правильного треугольника равна 8 см. Найдите его площадь.", "solution": "Площадь правильного треугольника со стороной a вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. В нашем случае a = 8 см. Подставляем это значение в формулу: $S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ кв. см." }, { "problem": "5. Найдите: sin α и tan α, если cos α = 0,8.", "solution": "Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Отсюда $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36$. Следовательно, $\sin \alpha = \sqrt{0.36} = 0.6$ (берем положительное значение, так как не указан квадрант). Теперь найдем тангенс: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} = 0.75$" } ], "explanation": "Здравствуйте, ученики! Давайте разберем эти задачи по геометрии и тригонометрии. Мы используем основные определения синуса, косинуса, тангенса, теорему Пифагора, а также формулы для площади правильного треугольника и основное тригонометрическое тождество. Обратите внимание на то, как мы находим значения углов и сторон, используя известные соотношения и формулы. Важно помнить значения тригонометрических функций для стандартных углов (30°, 45°, 60°)." }