Вариант 1: Высота правильной треугольной пирамиды равна $a\sqrt{3}$, радиус окружности, описанной около ее основания, $2a$. Найдите: а) апофему пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь боковой поверхности; г) плоский угол при вершине пирамиды. Вариант 2: Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна $2a$, высота пирамиды равна $a\sqrt{2}$. Найдите: а) сторону основания пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.

Разберем задачи по вариантам. Вариант 1 Дано: Правильная треугольная пирамида, высота $H = a\sqrt{3}$, радиус описанной окружности $R = 2a$. а) Найдем апофему пирамиды (боковой грани). 1. Найдем сторону основания $a$ через радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, следовательно, $a = R\sqrt{3} = 2a\sqrt{3}$. Получается противоречие, т.к. сторона основания выражена через переменную $a$, которая уже используется в высоте пирамиды. Будем считать, что радиус описанной окружности равен $2b$, тогда сторона основания $a = 2b\sqrt{3}$. 2. Найдем апофему основания $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2b\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = b$. 3. Апофему пирамиды $l$ найдем по теореме Пифагора: $l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + b^2} = \sqrt{3a^2 + b^2}$. Тут тоже возникает противоречие, так как используются разные переменные $a$ и $b$, надо условие переформулировать. Давайте предположим, что радиус описанной окружности равен $\frac{a}{2}$. Тогда сторона основания равна $a = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Это не имеет смысла. Условие задачи противоречиво. Невозможно найти апофему в таком случае. б) Угол между боковой гранью и основанием. 1. Тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды к радиусу вписанной окружности. $\tan(\alpha) = \frac{H}{r} = \frac{a\sqrt{3}}{b}$. Опять же проблема с разными переменными. Если бы было дано числовое значение, можно было бы найти угол. в) Площадь боковой поверхности. 1. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему. $S = \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot l$. Опять же, невозможно посчитать точно, так как не определены значения. г) Плоский угол при вершине пирамиды. 1. Этот угол можно найти, если знать апофему и сторону основания. Но из-за неопределенности с условием, найти его не получится. Вариант 2 Дано: Правильная четырехугольная пирамида, апофема $l = 2a$, высота $H = a\sqrt{2}$. а) Найдем сторону основания пирамиды. 1. В правильной четырехугольной пирамиде основание - квадрат. Апофема пирамиды, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Пусть сторона основания равна $x$. Тогда $(\frac{x}{2})^2 + H^2 = l^2$. 2. $(\frac{x}{2})^2 = l^2 - H^2 = (2a)^2 - (a\sqrt{2})^2 = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2$. 3. $\frac{x}{2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. 4. $x = 2a\sqrt{2}$. Ответ: Сторона основания равна $2a\sqrt{2}$ б) Угол между боковой гранью и основанием. 1. $\tan(\alpha) = \frac{H}{\frac{x}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$. 2. $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$. Ответ: Угол равен $45^\circ$ в) Площадь поверхности пирамиды. 1. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания $S_{осн} = x^2 = (2a\sqrt{2})^2 = 8a^2$. 2. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot 4x \cdot l = 2xl = 2 \cdot 2a\sqrt{2} \cdot 2a = 8a^2\sqrt{2}$. 3. $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 8a^2 + 8a^2\sqrt{2} = 8a^2(1 + \sqrt{2})$. Ответ: Площадь поверхности равна $8a^2(1 + \sqrt{2})$ г) Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани. 1. Это расстояние равно радиусу вписанной в квадрат окружности, то есть половине стороны основания. $r = \frac{x}{2} = a\sqrt{2}$. Ответ: Расстояние равно $a\sqrt{2}$