Вариант №2. Решите следующие задачи: 1. Длина окружности, описанной около квадрата, равна (12pi). Найдите периметр квадрата. 2. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 10, 13 и 13 см. 3. Найдите длину дуги окружности радиуса 9 см, если её градусная мера равна 200°. 4. На рисунке хорды CD и CH стягивают дуги в 90°. Радиус окружности равен R. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим эти задачи вместе. 1. Длина окружности, описанной около квадрата, равна (12pi). Найдите периметр квадрата. * Пусть (a) - сторона квадрата. Тогда диагональ квадрата (d) является диаметром описанной окружности. * Длина окружности (C = pi d), следовательно, (12pi = pi d), откуда (d = 12). * Диагональ квадрата (d = asqrt{2}). Значит, (asqrt{2} = 12), откуда (a = rac{12}{sqrt{2}} = 6sqrt{2}). * Периметр квадрата (P = 4a = 4 cdot 6sqrt{2} = 24sqrt{2}). Ответ: Периметр квадрата равен (24sqrt{2}). 2. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 10, 13 и 13 см. * Это равнобедренный треугольник. Сначала найдем его площадь (S) по формуле Герона: (S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}), где (p) - полупериметр, (a, b, c) - стороны треугольника. * (p = rac{10 + 13 + 13}{2} = rac{36}{2} = 18). * (S = sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)} = sqrt{18 cdot 8 cdot 5 cdot 5} = sqrt{2 cdot 9 cdot 8 cdot 25} = 3 cdot 4 cdot 5 = 60) см(^2). * Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле (r = rac{S}{p} = rac{60}{18} = rac{10}{3}) см. * Площадь круга (A = pi r^2 = pi (rac{10}{3})^2 = rac{100pi}{9}) см(^2). Ответ: Площадь круга равна (rac{100pi}{9}) см(^2). 3. Найдите длину дуги окружности радиуса 9 см, если её градусная мера равна 200°. * Длина дуги (l) вычисляется по формуле (l = rac{pi R alpha}{180}), где (R) - радиус окружности, (alpha) - градусная мера дуги. * (l = rac{pi cdot 9 cdot 200}{180} = rac{1800pi}{180} = 10pi) см. Ответ: Длина дуги равна (10pi) см. 4. На рисунке хорды CD и CH стягивают дуги в 90°. Радиус окружности равен R. Найдите площадь заштрихованной фигуры. * Так как дуги CD и CH стягиваются хордами и составляют 90°, то углы (angle COD) и (angle COH) равны 90° (где O - центр окружности). * Заштрихованная фигура состоит из двух секторов, каждый из которых является четвертью круга. * Площадь одного сектора равна (rac{pi R^2}{4}). * Площадь двух секторов (заштрихованной фигуры) равна (2 cdot rac{pi R^2}{4} = rac{pi R^2}{2}). Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна (rac{pi R^2}{2}).