Вариант 2 1. Найдите шестой член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 0,81$ и $q = \frac{1}{3}$. 2. Первый член геометрической прогрессии $(b_n)$ равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии. 3. Между числами $\frac{4}{49}$ и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию. 4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с положительными членами, зная, что $b_2 = 1,2$ и $b_4 = 4,8$. 5. Найдите первый член геометрической прогрессии $(a_n)$, в которой $q = -2$, $S_5 = 330$.

Решение: 1. Дано: $b_1 = 0,81$, $q = \frac{1}{3}$. Найти $b_6$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 * q^{n-1}$. $b_6 = b_1 * q^{6-1} = 0,81 * (\frac{1}{3})^5 = 0,81 * \frac{1}{243} = \frac{0,81}{243} = \frac{81}{24300} = \frac{9}{2700} = \frac{1}{300} = 0,00\overline{3}$. Ответ: $b_6 = \frac{1}{300}$ 2. Дано: $b_1 = 6$, $q = 2$. Найти $S_7$. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. $S_7 = \frac{6(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{6(128 - 1)}{1} = 6 * 127 = 762$. Ответ: $S_7 = 762$ 3. Дано: $b_1 = \frac{4}{49}$, $b_5 = 196$. Найти $b_2, b_3, b_4$. $b_5 = b_1 * q^{5-1}$, отсюда $196 = \frac{4}{49} * q^4$, $q^4 = \frac{196 * 49}{4} = 49 * 49 = 49^2$, $q = \sqrt[4]{49^2} = \sqrt{49} = 7$. $b_2 = b_1 * q = \frac{4}{49} * 7 = \frac{4}{7}$, $b_3 = b_2 * q = \frac{4}{7} * 7 = 4$, $b_4 = b_3 * q = 4 * 7 = 28$. Ответ: $\frac{4}{7}, 4, 28$ 4. Дано: $b_2 = 1,2$, $b_4 = 4,8$. Найти $S_8$. $b_4 = b_2 * q^{4-2}$, отсюда $4,8 = 1,2 * q^2$, $q^2 = \frac{4,8}{1,2} = 4$, $q = \pm 2$. Так как члены положительные, то $q = 2$. $b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{1,2}{2} = 0,6$. $S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{0,6(2^8 - 1)}{2 - 1} = 0,6 * (256 - 1) = 0,6 * 255 = 153$. Ответ: $S_8 = 153$ 5. Дано: $q = -2$, $S_5 = 330$. Найти $a_1$. $S_5 = \frac{a_1(q^5 - 1)}{q - 1}$, отсюда $330 = \frac{a_1((-2)^5 - 1)}{-2 - 1}$, $330 = \frac{a_1(-32 - 1)}{-3}$, $330 = \frac{a_1(-33)}{-3}$, $330 = 11 * a_1$, $a_1 = \frac{330}{11} = 30$. Ответ: $a_1 = 30$