Вариант 1 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна $5\sqrt{3}$ см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? 3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $6\sqrt{3}$ дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. Вариант 1 1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен $4\sqrt{3}$ см. 2. Длина дуги окружности с градусной мерой 120° равна $8\pi$ см. Вычислите площадь соответствующего данной дуге кругового сектора. 3. Вычислите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если $AO = 4$ см, $\angle AOB = 135°$ (рис. 12.57).

Вариант 1 1. Найдем площадь круга и длину окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна $5\sqrt{3}$ см. * Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом $R$ этой окружности формулой: $a = R\sqrt{3}$. Отсюда, радиус окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ см. * Площадь круга $S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см$^2$. * Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см. Ответ: Площадь круга $25\pi$ см$^2$, длина окружности $10\pi$ см. 2. Вычислим длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? * Длина дуги окружности $l = \frac{\pi R \alpha}{180}$, где $R$ - радиус окружности, $\alpha$ - градусная мера дуги. $l = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 120}{180} = \frac{8\pi}{3}$ см. * Площадь кругового сектора $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 120}{360} = \frac{16\pi}{3}$ см$^2$. Ответ: Длина дуги $\frac{8\pi}{3}$ см, площадь сектора $\frac{16\pi}{3}$ см$^2$. 3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $6\sqrt{3}$ дм. Найдем периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. * Сторона правильного треугольника $a_3 = \frac{P}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ дм. * Радиус окружности, описанной около правильного треугольника $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ дм. * Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R = 2$ дм. * Периметр правильного шестиугольника $P_6 = 6a_6 = 6 \cdot 2 = 12$ дм. Ответ: Периметр правильного шестиугольника равен 12 дм. Вариант 2 1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдем площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен $4\sqrt{3}$ см. * Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен половине радиуса описанной окружности: $r = \frac{R}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. * Площадь меньшего круга $S = \pi r^2 = \pi (2\sqrt{3})^2 = 12\pi$ см$^2$. * Длина окружности, ограничивающей меньший круг $C = 2\pi r = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}$ см. Ответ: Площадь меньшего круга $12\pi$ см$^2$, длина окружности $4\pi\sqrt{3}$ см. 2. Длина дуги окружности с градусной мерой 120° равна $8\pi$ см. Вычислим площадь соответствующего данной дуге кругового сектора. * Длина дуги $l = \frac{\pi R \alpha}{180}$, где $R$ - радиус окружности, $\alpha$ - градусная мера дуги. Отсюда, радиус окружности $R = \frac{180l}{\pi \alpha} = \frac{180 \cdot 8\pi}{\pi \cdot 120} = 12$ см. * Площадь кругового сектора $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 120}{360} = 48\pi$ см$^2$. Ответ: Площадь сектора $48\pi$ см$^2$. 3. Вычислим площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если $AO = 4$ см, $\angle AOB = 135°$ (рис. 12.57). * Площадь кругового сектора $S_{sector} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 135}{360} = 6\pi$ см$^2$. * Площадь треугольника $AOB$: $S_{triangle} = \frac{1}{2} R^2 sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 sin(135°) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см$^2$. * Площадь заштрихованной фигуры $S = S_{sector} - S_{triangle} = 6\pi - 4\sqrt{2}$ см$^2$. Ответ: Площадь заштрихованной фигуры $6\pi - 4\sqrt{2}$ см$^2$.