Вариант 1. Даны точки А(-3; 1), В(1; -2) и С(-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов AB и AC; 2) модули векторов AB и AC; 3) координаты вектора MK = 2AB - 3AC; 4) скалярное произведение векторов AB и AC; 5) косинус угла между векторами AB и AC. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор: 1) AB + BC; 2) AC - AB; 3) CA + CB. Даны векторы m(4; 14) и n(-7; k). При каком значении k векторы m и n: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM: MC = 2:5, CP: PD = 3: 1. Выразите вектор MP через векторы AB = a и AD = b. Найдите косинус угла между векторами a = 4m - p и b = m + 2p, если |m| = |p| = 1, m ⊥ p.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу по геометрии. **1. Находим координаты векторов AB и AC:** * Вектор AB = B - A = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3) * Вектор AC = C - A = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1) **2. Находим модули векторов AB и AC:** * |AB| = \(\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) * |AC| = \(\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\) **3. Находим координаты вектора MK = 2AB - 3AC:** * 2AB = 2 * (4; -3) = (8; -6) * 3AC = 3 * (2; -1) = (6; -3) * MK = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3) **4. Находим скалярное произведение векторов AB и AC:** * AB · AC = (4 * 2) + (-3 * -1) = 8 + 3 = 11 **5. Находим косинус угла между векторами AB и AC:** * cos(α) = \(\frac{AB · AC}{|AB| * |AC|} = \frac{11}{5 * \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}\) **Построение треугольника ABC и вектора:** 1. AB + BC = AC, т.к. \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) 2. AC - AB = BC, т.к. \(\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}\) 3. CA + CB = 2CE, где E - середина AB. \(\vec{CA} + \vec{CB} = 2\vec{CE}\) **Даны векторы m(4; 14) и n(-7; k).** 1. **Коллинеарны:** \(\frac{4}{-7} = \frac{14}{k}\) => \(k = \frac{14 * -7}{4} = -24.5\) 2. **Перпендикулярны:** m · n = 0 (4 * -7) + (14 * k) = 0 -28 + 14k = 0 14k = 28 k = 2 **На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки M и P:** BM: MC = 2:5, CP: PD = 3: 1 Пусть \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\) Тогда \(\vec{BM} = \frac{2}{7} \vec{BC} = \frac{2}{7} \vec{b}\) и \(\vec{CP} = \frac{3}{4} \vec{CD} = \frac{3}{4} \vec{a}\) Выразим вектор MP: \(\vec{MP} = \vec{MC} + \vec{CP} = \frac{5}{7} \vec{BC} + \frac{3}{4} \vec{CD} = \frac{5}{7} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}\) **Найти косинус угла между векторами \(\vec{a} = 4\vec{m} - \vec{p}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{p}\), если |m| = |p| = 1, m ⊥ p:** \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - \vec{p})(\vec{m} + 2\vec{p}) = 4\vec{m}^2 + 8\vec{m}\vec{p} - \vec{p}\vec{m} - 2\vec{p}^2\) Т.к. \(\vec{m} \perp \vec{p}\) то \(\vec{m}\vec{p} = 0\). Следовательно, \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\vec{m}^2 - 2\vec{p}^2 = 4|m|^2 - 2|p|^2 = 4*1 - 2*1 = 2\) \(|\vec{a}| = \sqrt{(4\vec{m} - \vec{p})^2} = \sqrt{16\vec{m}^2 - 8 \vec{m}\vec{p} + \vec{p}^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\)\) \(|\vec{b}| = \sqrt{(\vec{m} + 2\vec{p})^2} = \sqrt{\vec{m}^2 + 4\vec{m}\vec{p} + 4\vec{p}^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)\) \(cos(α) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{17} \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}} = \frac{2\sqrt{85}}{85}\) Надеюсь, теперь все понятно! Если возникнут вопросы, не стесняйтесь спрашивать.