Вариант 3 • 1. Решите неравенство: a) $\frac{1}{4}x > 1$; б) $1-6x \ge 0$; в) $5(y-1.4) - 6 < 4y - 1.5$. 2. При каких $m$ значение дроби $\frac{m+1}{2}$ меньше соответствующего значения выражения $m-6?\$ • 3. Решите систему неравенств: a) $\begin{cases} 3x-9<0, \ 5x+2>0; \ \end{cases}$ б) $\begin{cases} 15-x<14, \ 4-2x<5. \ \end{cases}$ 4. Найдите целые решения системы неравенств $\begin{cases} 5(1-2x)<2x-4, \ 2.5 + x \ge x. \ \end{cases}$ 5. При каких значениях $a$ имеет смысл выражение $\sqrt{12-3a} + \sqrt{a+2}$? 6. При каких значениях $a$ множеством решений неравенства $\frac{5x-1}{4} < a$ является числовой промежуток $(-\infty; 2)$?

Решение: 1. Решим неравенства: a) $\frac{1}{4}x > 1$. Умножим обе части на 4: $x > 4$. б) $1 - 6x \ge 0$. Перенесем 1 в правую часть: $-6x \ge -1$. Разделим обе части на -6 (не забываем поменять знак неравенства): $x \le \frac{1}{6}$. в) $5(y - 1.4) - 6 < 4y - 1.5$. Раскроем скобки: $5y - 7 - 6 < 4y - 1.5$. Приведем подобные: $5y - 13 < 4y - 1.5$. Перенесем $4y$ в левую часть, а -13 в правую: $5y - 4y < 13 - 1.5$. Получаем: $y < 11.5$. 2. Решим неравенство $\frac{m+1}{2} < m - 6$: Умножим обе части на 2: $m + 1 < 2(m - 6)$. Раскроем скобки: $m + 1 < 2m - 12$. Перенесем $m$ в правую часть, а -12 в левую: $1 + 12 < 2m - m$. Получаем: $13 < m$, или $m > 13$. 3. Решим системы неравенств: a) $\begin{cases} 3x - 9 < 0, \ 5x + 2 > 0; \ \end{cases}$. Решим каждое неравенство отдельно. $3x - 9 < 0 \Rightarrow 3x < 9 \Rightarrow x < 3$. $5x + 2 > 0 \Rightarrow 5x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{5} = -0.4$. Значит, $-0.4 < x < 3$. б) $\begin{cases} 15 - x < 14, \ 4 - 2x < 5; \ \end{cases}$. Решим каждое неравенство отдельно. $15 - x < 14 \Rightarrow -x < -1 \Rightarrow x > 1$. $4 - 2x < 5 \Rightarrow -2x < 1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2} = -0.5$. Значит, $x > 1$. 4. Найдем целые решения системы неравенств: $\begin{cases} 5(1 - 2x) < 2x - 4, \ 2.5 + x \ge x. \ \end{cases}$. Решим первое неравенство: $5 - 10x < 2x - 4 \Rightarrow -12x < -9 \Rightarrow x > \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$. Второе неравенство: $2.5 + x \ge x \Rightarrow 2.5 \ge 0$. Это верно для любого $x$. Целые решения: $x > 0.75$, то есть $x = 1, 2, 3, ...$. 5. Найдем значения $a$, при которых выражение $\sqrt{12 - 3a} + \sqrt{a + 2}$ имеет смысл. Для этого необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными: $\begin{cases} 12 - 3a \ge 0, \ a + 2 \ge 0; \ \end{cases}$. Решим каждое неравенство отдельно. $12 - 3a \ge 0 \Rightarrow -3a \ge -12 \Rightarrow a \le 4$. $a + 2 \ge 0 \Rightarrow a \ge -2$. Таким образом, $-2 \le a \le 4$. 6. Найдем значения $a$, при которых множеством решений неравенства $\frac{5x-1}{4} < a$ является числовой промежуток $(-\infty; 2)$. Преобразуем неравенство: $5x - 1 < 4a \Rightarrow 5x < 4a + 1 \Rightarrow x < \frac{4a + 1}{5}$. По условию, $x < 2$, значит $\frac{4a + 1}{5} = 2$. $4a + 1 = 10 \Rightarrow 4a = 9 \Rightarrow a = \frac{9}{4} = 2.25$. Ответы: 1. а) $x > 4$, б) $x \le \frac{1}{6}$, в) $y < 11.5$ 2. $m > 13$ 3. а) $-0.4 < x < 3$, б) $x > 1$ 4. $x = 1, 2, 3, ...$ 5. $-2 \le a \le 4$ 6. $a = \frac{9}{4} = 2.25$ Развёрнутый ответ для школьника: В этой работе нам встретились разные типы задач: решение неравенств, систем неравенств, нахождение значений переменных, при которых выражения имеют смысл, и задачи, связанные с числовыми промежутками. Важно внимательно читать условие задачи, чтобы понять, что именно требуется найти. При решении неравенств не забывайте менять знак неравенства при умножении или делении на отрицательное число. При решении систем неравенств нужно найти пересечение решений каждого неравенства. При нахождении значений переменных, при которых выражения имеют смысл, нужно учитывать ограничения, например, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. И, наконец, при работе с числовыми промежутками важно понимать, что они означают и как их использовать для решения задач.