В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, \(sin A = \frac{5}{6}\). Найдите длину отрезка AH.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. 1. Определение синуса угла: В прямоугольном треугольнике синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, \(sin A = \frac{CH}{AB}\). 2. Находим высоту CH: Мы знаем, что \(sin A = \frac{5}{6}\) и \(AB = 36\). Подставим эти значения в формулу: \(\frac{5}{6} = \frac{CH}{36}\) Чтобы найти CH, умножим обе части уравнения на 36: \(CH = \frac{5}{6} * 36 = 30\) 3. Рассмотрим треугольник ACH: Этот треугольник также является прямоугольным (угол H равен 90°). 4. Применим теорему Пифагора к треугольнику ACH: В треугольнике ACH, \(AC^2 = AH^2 + CH^2\). Нам нужно найти AH, но мы пока не знаем AC. 5. Найдем AC через косинус угла A: Мы знаем синус угла A, и можем найти косинус, используя основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 A + cos^2 A = 1\) \(cos^2 A = 1 - sin^2 A\) \(cos^2 A = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36}\) \(cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}\) 6. Теперь найдем AC, используя косинус угла A: В треугольнике ABC, \(cos A = \frac{AC}{AB}\) \(AC = AB * cos A = 36 * \frac{\sqrt{11}}{6} = 6\sqrt{11}\) 7. Подставим найденные значения в теорему Пифагора для треугольника ACH: \((6\sqrt{11})^2 = AH^2 + 30^2\) \(36 * 11 = AH^2 + 900\) \(396 = AH^2 + 900\) \(AH^2 = 396 - 900\) - Ошибка. Здесь должно быть \(AC^2 = AH^2 + CH^2\) и мы знаем AC и CH. Получается, что AC < CH, что невозможно, так как AC - гипотенуза в треугольнике ACH. Давай посмотрим на задачу с другой стороны: В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) с прямым углом \(C\), у нас есть высота \(CH\). Мы знаем, что \(AB = 36\) и \(\sin A = \frac{5}{6}\). Также нам известно, что \(\sin A = \frac{BC}{AB}\), следовательно: \(BC = AB \cdot \sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30\) Теперь мы можем найти \(AC\) по теореме Пифагора для треугольника \(\triangle ABC\): \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36^2 - 30^2 = 1296 - 900 = 396\) \(AC = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}\) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ACH\). В этом треугольнике: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\) Мы также знаем, что в треугольнике \(\triangle ABC\) высота \(CH\) равна: \(CH = AC \cdot \sin A = 6\sqrt{11} \cdot \frac{5}{6} = 5\sqrt{11}\) Теперь мы можем найти \(AH\) из треугольника \(\triangle ACH\): \(AH^2 = AC^2 - CH^2 = 396 - (5\sqrt{11})^2 = 396 - 25 \cdot 11 = 396 - 275 = 121\) \(AH = \sqrt{121} = 11\) Ответ: 11