Дано:
\(\angle C = 90^\circ\)
CH - высота
AB = 72
sin A = \frac{1}{6}
Найти: AH
Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
\(sin A = \frac{BC}{AB}\)
\(BC = AB \cdot sin A = 72 \cdot \frac{1}{6} = 12\)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол A у них общий. Выразим AH через косинус угла A:
\(cos A = \frac{AH}{AC}\)
Значит, \(AH = AC \cdot cos A\)
3. Сначала найдем AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:
\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
\(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 72^2 - 12^2 = 5184 - 144 = 5040\)
\(AC = \sqrt{5040} = \sqrt{144 \cdot 35} = 12\sqrt{35}\)
4. Найдем косинус угла A, зная синус. Используем основное тригонометрическое тождество:
\(sin^2 A + cos^2 A = 1\)
\(cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\)
\(cos A = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
5. Теперь найдем AH:
\(AH = AC \cdot cos A = 12\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 2 \cdot 35 = 70\)
Ответ: AH = 70