13) В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 72, sin A = 1/6. Найдите AH.

Дано: \(\angle C = 90^\circ\) CH - высота AB = 72 sin A = \frac{1}{6} Найти: AH Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \(sin A = \frac{BC}{AB}\) \(BC = AB \cdot sin A = 72 \cdot \frac{1}{6} = 12\) 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол A у них общий. Выразим AH через косинус угла A: \(cos A = \frac{AH}{AC}\) Значит, \(AH = AC \cdot cos A\) 3. Сначала найдем AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 72^2 - 12^2 = 5184 - 144 = 5040\) \(AC = \sqrt{5040} = \sqrt{144 \cdot 35} = 12\sqrt{35}\) 4. Найдем косинус угла A, зная синус. Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 A + cos^2 A = 1\) \(cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\) \(cos A = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\) 5. Теперь найдем AH: \(AH = AC \cdot cos A = 12\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 2 \cdot 35 = 70\) Ответ: AH = 70