40. В треугольнике ABC угол C прямой, AC = 16, sin A = \frac{15}{17}. Найдите AB.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C прямой, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). Дано: AC = 16, sin A = \frac{15}{17} Сначала найдем BC, используя теорему Пифагора или основное тригонометрическое тождество. Зная синус угла A, можно найти косинус угла A: $sin^2 A + cos^2 A = 1$ $cos^2 A = 1 - sin^2 A$ $cos^2 A = 1 - (\frac{15}{17})^2$ $cos^2 A = 1 - \frac{225}{289}$ $cos^2 A = \frac{289 - 225}{289}$ $cos^2 A = \frac{64}{289}$ $cos A = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$ Теперь, зная косинус угла A и катет AC, найдем гипотенузу AB: $cos A = \frac{AC}{AB}$ $\frac{8}{17} = \frac{16}{AB}$ $AB = \frac{16 \cdot 17}{8}$ $AB = 2 \cdot 17$ $AB = 34$ Ответ: AB = 34