В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, угол A равен 84°. Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла BMC.

Разберем задачу по шагам: 1. Анализ условия: - Дано: Треугольник ABC, AB = AC, \(\angle A = 84^\circ\), BM и CM - биссектрисы углов B и C. - Найти: \(\angle BMC\). 2. Найдем углы B и C: - Так как AB = AC, треугольник ABC - равнобедренный. Значит, \(\angle B = \angle C\). - Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). - Подставляем известные значения: \(84^\circ + \angle B + \angle B = 180^\circ\) (так как \(\angle B = \angle C\)). - Получаем: \(2 \cdot \angle B = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ\). - Следовательно, \(\angle B = \angle C = \frac{96^\circ}{2} = 48^\circ\). 3. Найдем углы MBC и MCB: - BM и CM - биссектрисы, значит, они делят углы B и C пополам. - \(\angle MBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ\). - \(\angle MCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ\). 4. Найдем угол BMC: - Рассмотрим треугольник MBC. Сумма его углов равна 180°: \(\angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^\circ\). - Подставляем известные значения: \(24^\circ + 24^\circ + \angle BMC = 180^\circ\). - Получаем: \(\angle BMC = 180^\circ - 24^\circ - 24^\circ = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ\). Ответ: \(\angle BMC = 132^\circ\).