428. В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = (1/4)AB. Площадь треугольника AMK равна 4. Найдите площадь треугольника ABC.

Поскольку BM - медиана, площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC. \[ S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC} \] Теперь рассмотрим треугольник AMK. Известно, что (AK = \frac{1}{4}AB). Площади треугольников AMK и ABM относятся как длины их оснований AK и AB, так как высота у них общая (высота, опущенная из вершины M). \[ \frac{S_{AMK}}{S_{ABM}} = \frac{AK}{AB} = \frac{\frac{1}{4}AB}{AB} = \frac{1}{4} \] Таким образом, (S_{AMK} = \frac{1}{4} S_{ABM}). Подставим выражение для (S_{ABM}): \[ S_{AMK} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{8} S_{ABC} \] Нам дано, что (S_{AMK} = 4). Следовательно, \[ 4 = \frac{1}{8} S_{ABC} \] Умножим обе части на 8, чтобы найти (S_{ABC}): \[ S_{ABC} = 4 \cdot 8 = 32 \] Ответ: Площадь треугольника ABC равна 32.