18. В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Так как MK - биссектриса угла ABM, то \(\angle ABM = 2 \angle KMB\). Поскольку MP - высота, то \(\angle CMP = 90^{\circ}\). Также дано, что \(\angle KMP = 90^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник KMP. Пусть \(\angle KMB = \alpha\). Тогда \(\angle BMP = 90^{\circ} - \alpha\). Следовательно, \(\angle ABM = 2 \alpha\) и \(\angle CBM = 90^{\circ} - \alpha\). Также заметим, что \(\angle MBA + \angle MBC = \angle ABC\). По условию, CM = 12, и нам нужно найти BM. \(\angle KMP=90^\circ\), следовательно \(\angle KMB + \angle BMP = 90^\circ\). Пусть \(\angle KMB = x\). Так как MK биссектриса, то \(\angle ABM = 2x\). Тогда \(\angle BMP = 90^\circ - x\), следовательно \(\angle MBC=90^\circ - x\). Отсюда получаем, что \(\bigtriangleup MBC\) - равнобедренный (т.к. высота является медианой), и BM=CM=12 Ответ: BM=12