25. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC углы A и D соответственно равны 34° и 56°. Длина отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC, равна 14, а длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна 22. Найди длину большего из оснований трапеции.

Пусть ABCD – данная трапеция, где AD и BC – основания, углы A и D равны 34° и 56° соответственно. Пусть M и N – середины сторон AB и CD соответственно, и MN = 22. Также, пусть K и L – середины оснований AD и BC соответственно, и KL = 14. Известно, что длина отрезка, соединяющего середины боковых сторон трапеции, равна полусумме ее оснований. То есть: $MN = \frac{AD + BC}{2}$ $22 = \frac{AD + BC}{2}$ $AD + BC = 44$ (1) Теперь, рассмотрим отрезок KL, соединяющий середины оснований. Известно, что если продолжить боковые стороны трапеции до пересечения в точке O, то точка O будет лежать на прямой KL. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD и высоту CF из вершины C на основание AD. Тогда AH = $\frac{AD - BC}{2} * cot(34)$ и FD = $\frac{AD - BC}{2} * cot(56)$. Т.е. $AD - BC = AH + FD = \frac{AD - BC}{2} * cot(34) + \frac{AD - BC}{2} * cot(56)$ $AH + FD = AD - BC$ Также, известно, что $KL = \frac{AD + BC}{2} + \frac{(BC - AD)}{4} (cot A - cot D) = |\frac{AD - BC}{2} (cot A - cot D)|$ Тогда $KL = \frac{AD - BC}{2} (cot(34) - cot(124))$ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN = (AD + BC)/2 = 22$ Рассмотрим треугольник, образованный высотами BH и CF. Так как углы A и D равны 34 и 56 градусов соответственно, то сумма углов A и D равна 90. Тогда трапеция ABCD - прямоугольная. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований равен полуразности оснований. Таким образом, |AD - BC|/2 = 14. Это значит, что |AD - BC| = 28. Итак, мы имеем два уравнения: 1) AD + BC = 44 2) |AD - BC| = 28 Рассмотрим два случая: Случай 1: AD > BC. Тогда AD - BC = 28. Решаем систему уравнений: AD + BC = 44 AD - BC = 28 Складываем уравнения: 2AD = 72 => AD = 36 Тогда BC = 44 - 36 = 8 Случай 2: BC > AD. Тогда BC - AD = 28. Решаем систему уравнений: AD + BC = 44 BC - AD = 28 Складываем уравнения: 2BC = 72 => BC = 36 Тогда AD = 44 - 36 = 8 В обоих случаях большее основание равно 36, а меньшее 8. Ответ: 36