В термос, где находится ( m_{л} = 100 ) г льда при температуре ( t_{л} = -80 )°С, впускают пар при температуре ( t_{п} = 100 )°С. Пренебрегая теплоёмкостью термоса, определите: (а) минимальную массу пара, который разогреет лёд до 0°С; (b) максимальную массу пара, при добавлении которой содержимое термоса будет иметь температуру 0°С; (с) установившуюся в термосе температуру после добавления четырёх порций пара ( m = 5 ) г каждая при температуре ( t_{п} = 100 ) °С. Считайте, что каждое следующее добавление пара происходит после того, как в термосе установится тепловое равновесие. Удельная теплоёмкость льда ( c_{л} = 2100 ) Дж/(кг°С), воды ( c_{в} = 4200 ) Дж/(кг°С), удельная теплота плавления льда ( \lambda = 330 ) кДж/кг, парообразования воды ( L = 2.3 ) МДж/кг.

Решение: (a) Чтобы найти минимальную массу пара, необходимую для нагрева льда до 0°C, нужно рассмотреть процесс, в котором пар конденсируется, охлаждается до 0°C и отдает тепло льду, который нагревается до 0°C и плавится. Уравнение теплового баланса будет следующим: (Q_{пара} = Q_{льда}) (m_{п}L + m_{п}c_{в}(100 - 0) = m_{л}c_{л}(0 - t_{л}) + m_{л}\lambda) где: (m_{п}) - масса пара (L = 2.3 cdot 10^6) Дж/кг - удельная теплота парообразования воды (c_{в} = 4200) Дж/(кг°С) - удельная теплоемкость воды (m_{л} = 0.1) кг - масса льда (c_{л} = 2100) Дж/(кг°С) - удельная теплоемкость льда (t_{л} = -80)°С - начальная температура льда ( \lambda = 330 cdot 10^3 ) Дж/кг - удельная теплота плавления льда Подставляем значения: (m_{п}(2.3 cdot 10^6) + m_{п}(4200)(100) = 0.1(2100)(80) + 0.1(330 cdot 10^3)) (m_{п}(2.3 cdot 10^6 + 420000) = 0.1(168000 + 330000)) (m_{п}(2.72 cdot 10^6) = 49800) (m_{п} = \frac{49800}{2.72 cdot 10^6} \approx 0.0183) кг (m_{п} \approx 18.3) г (b) Чтобы найти максимальную массу пара, при добавлении которой содержимое термоса будет иметь температуру 0°C, нужно рассмотреть процесс, в котором пар конденсируется и охлаждается до 0°C, а лед нагревается до 0°C, плавится и нагревается до 0°C. В этом случае, вся система должна находиться в состоянии, когда есть и лед, и вода при 0°C. (Q_{пара} = Q_{льда}) (m_{п}L + m_{п}c_{в}(100 - 0) = m_{л}c_{л}(0 - t_{л}) + m_{л}\lambda) Это то же самое уравнение, что и в пункте (а), поэтому максимальная масса пара будет такой же, как и минимальная: (m_{п} \approx 18.3) г (c) После добавления первой порции пара (5 г): (Q_{пара1} = m_{п1}L + m_{п1}c_{в}(100 - t)) (Q_{льда1} = m_{л}c_{л}(0 - t_{л}) + m_{льда1}\lambda + m_{льда1}c_{в}(t - 0)) Для первой порции: ( m_{п1} = 0.005 ) кг (0.005(2.3 cdot 10^6) + 0.005(4200)(100 - t) = 0.1(2100)(80) + m_{льда1}(330 cdot 10^3) + m_{льда1}(4200)(t - 0)) (11500 + 2100 - 21t = 16800 + 330000m_{льда1} + 4200m_{льда1}t) После добавления первой порции, часть льда растает, и установится некоторая температура ( t ). Предположим, что весь лед не растает, тогда масса оставшегося льда будет ( m_{льда1} = 0.1 - m_{воды1} ). В итоге, после добавления четырёх порций пара по 5 г каждая, общая масса добавленного пара будет 20 г, то есть 0.02 кг. Общее количество теплоты, отданное паром, равно: (Q_{пар} = m_{пар}L + m_{пар}c_{в}(100 - t)) (Q_{пар} = 0.02(2.3 cdot 10^6) + 0.02(4200)(100 - t)) (Q_{пар} = 46000 + 8400 - 84t = 54400 - 84t) Количество теплоты, полученное льдом, равно: (Q_{лед} = m_{л}c_{л}(0 - t_{л}) + m_{л}\lambda + m_{воды}c_{в}(t - 0)) (Q_{лед} = 0.1(2100)(80) + 0.1(330 cdot 10^3) + m_{воды}(4200)(t - 0)) (Q_{лед} = 16800 + 33000 + m_{воды}(4200)t = 49800 + m_{воды}(4200)t) Приравниваем ( Q_{пар} ) и ( Q_{лед} ): (54400 - 84t = 49800 + m_{воды}(4200)t) (4600 = (4200m_{воды} + 84)t) (t = \frac{4600}{4200m_{воды} + 84}) Так как было добавлено 20 г пара, то максимальная масса воды, которая могла образоваться, равна 20 г. Если предположить, что весь пар сконденсировался и передал тепло льду, то: (m_{воды} = 0.02) кг (t = \frac{4600}{4200(0.02) + 84} = \frac{4600}{84 + 84} = \frac{4600}{168} \approx 27.38)°C Ответ: (a) ( m_{п} \approx 18.3 ) г (b) ( m_{п} \approx 18.3 ) г (c) ( t \approx 27.38 )°C