В школьной столовой один стакан компота, четыре пирожка с мясом и два пирожка с вишней стоят 110 руб., а пять стаканов компота, два пирожка с мясом и четыре пирожка с вишней - 160 руб. Сколько рублей заплатил мальчик за покупку в школьной столовой одного стакана компота, одного пирожка с мясом и одного пирожка с вишней?

Решение: Пусть: $k$ - цена одного стакана компота $m$ - цена одного пирожка с мясом $v$ - цена одного пирожка с вишней Тогда, исходя из условия задачи, можем составить систему уравнений: \[k + 4m + 2v = 110\] \[5k + 2m + 4v = 160\] Умножим первое уравнение на 2, а второе на 1: \[2k + 8m + 4v = 220\] \[5k + 2m + 4v = 160\] Вычтем из первого уравнения второе: \[(2k - 5k) + (8m - 2m) + (4v - 4v) = 220 - 160\] \[-3k + 6m = 60\] Разделим обе части уравнения на -3: \[k - 2m = -20\] Выразим $k$ через $m$: \[k = 2m - 20\] Теперь подставим значение $k$ в первое уравнение исходной системы: \[(2m - 20) + 4m + 2v = 110\] \[6m + 2v = 130\] \[3m + v = 65\] \[v = 65 - 3m\] Подставим значения $k$ и $v$ во второе уравнение исходной системы: \[5(2m - 20) + 2m + 4(65 - 3m) = 160\] \[10m - 100 + 2m + 260 - 12m = 160\] \[0m + 160 = 160\] \[0m = 0\] Выразим $2m$ из уравнения $k - 2m = -20$: \[2m = k + 20\] Подставим в уравнение $5k + 2m + 4v = 160$: \[5k + k + 20 + 4v = 160\] \[6k + 4v = 140\] \[3k + 2v = 70\] Выразим $v$ из $3m + v = 65$ => $v = 65 - 3m$. Подставим в первое уравнение $k + 4m + 2v = 110$: $k + 4m + 2*(65 - 3m) = 110$ $k + 4m + 130 - 6m = 110$ $k - 2m = -20$ $k = 2m - 20$ Подставим в уравнение $3k + 2v = 70$: $3(2m - 20) + 2v = 70$ $6m - 60 + 2v = 70$ $6m + 2v = 130$ $3m + v = 65$ $v = 65 - 3m$ Подставим $k$ и $v$ в уравнение, выражающее стоимость покупки мальчика: Стоимость = $k + m + v$ Стоимость = $(2m - 20) + m + (65 - 3m)$ Стоимость = $2m - 20 + m + 65 - 3m$ Стоимость = $45$ руб. Ответ: Мальчик заплатил 45 рублей.