В шар вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом 46°. Вычислить радиус и объём шара, если высота цилиндра равна 48 см. Радиус шара равен?

Для решения этой задачи нужно понять геометрию вписанного цилиндра в шар. 1. Визуализация: Представь себе цилиндр, вписанный в шар. Диагональ осевого сечения цилиндра является хордой шара и образует угол 46° с основанием цилиндра. 2. Определение переменных: - Пусть $R$ - радиус шара. - Высота цилиндра $h = 48$ см. - Угол между диагональю осевого сечения и основанием $\alpha = 46^\circ$. 3. Рассмотрение прямоугольного треугольника: - Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной высоты цилиндра, радиусом основания цилиндра (пусть будет $r$) и радиусом шара $R$. - Диагональ осевого сечения цилиндра равна $d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}$. 4. Соотношения: - Из угла наклона диагонали к основанию: $tg(46^\circ) = \frac{h}{2r} = \frac{48}{2r}$, откуда $r = \frac{24}{tg(46^\circ)}$. 5. Связь радиуса шара и цилиндра: - Центр шара лежит на середине высоты цилиндра. Тогда можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом основания цилиндра $r$ и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$. - По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$. - Подставляем известные значения: $R^2 = (\frac{24}{tg(46^\circ)})^2 + 24^2$. 6. Выражение для R через cos: - Мы знаем, что $tg(46^\circ) = \frac{sin(46^\circ)}{cos(46^\circ)}$. - $R^2 = (\frac{24 \cdot cos(46^\circ)}{sin(46^\circ)})^2 + 24^2 = 24^2((\frac{cos(46^\circ)}{sin(46^\circ)})^2 + 1)$. - Вспомним, что $1 + ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)}$. Тогда $(\frac{cos(46^\circ)}{sin(46^\circ)})^2 + 1 = \frac{1}{sin^2(46^\circ)}$. - $R^2 = 24^2 \cdot \frac{1}{sin^2(46^\circ)}$. - $R = \frac{24}{sin(46^\circ)}$. Ответ: $R = \frac{48}{2sin(46^\circ)} = \frac{24}{sin(46^\circ)}$ Таким образом, правильный ответ: $\boxed{R = \frac{24}{\sin 46^\circ} \text{ см}}$